发布时间 : 星期四 文章燕山大学毕业设计：EIT图像重建技术研究更新完毕开始阅读23a9f5d7d4d8d15abf234e07
第4章 EIT技术图像重建算法
(3) 病态性。虽然矩形区域内介质的分布有位置、电导率或者个数的变化，边界上的电位能等位线分布变化程度却很小。因此求解EIT逆问题最大的困难就是边界电压的变化对传输管道内部电导率的变化不敏感。反过来讲，当进行EIT逆问题求解时，测量的电压值产生微小的变化都有可能导致求解出的微通道两相流电导率分布有很大的变化，使所得到的图像远远偏离真实的图像。
在这些前提下，只能通过一些数学方法对F?1或者S?1进行一些近似估计，从而进行EIT逆问题的求解，这使得EIT图像重建既具有挑战性又具有局限性。各种图像重建算法对于S?1都有各自的近似估计。
根据S-1的不同处理方式，有多种算法，如表4-1所示。
表4-1 S-1的近似法
算法 S-1 ST ST STM Landweber Tikhonov (SST??I)?1ST 4.3 几种常见的图像重建算法研究
4.3.1 灵敏度系数算法研究
1972年，灵敏度原理由Lehr根据互易性原理推导而出。该原理的内容为，当被测场域内部的电导率变化的时候，边界阻抗会随之而变。1985年，日本富士大学的Yukio Kagawa和Tadakuni Murai通过分析灵敏度原理及其在电阻层析成像算法里的应用提出了灵敏度系数算法(Sensitivity Theorem Method, STM)。
如前所述，根据正问题的分析过程，微通道测量截面的边界测量电压变化?V与微通道两相流流体在测量截面上的电导率分布变化??有如下关系：
?V?S?? (4-3)
对上式应用有限元法之后，测量电压变化值?V转化为一个N×1的矩阵，电导率分布变化值??转化为一个M×1的矩阵。其中N是所得到的测
27
燕山大学本科生毕业设计(论文)
量的电压个数，M为将微通道测量截面剖分之后单元的个数。则灵敏度矩阵S是N?M的矩阵。显然这个矩阵不是方阵，它的逆矩阵没有办法直接获得。
灵敏度矩阵是随着电导率变化而变化的，因此当电导率未知时，灵敏度系数矩阵会有一些未知因素，不便于求解。因此，通常假设电导率分布的变化较小的情况下，其场内电导率分布于测量的边界电压之间的灵敏度关系是近似不变的，也就是说可以把灵敏度矩阵看做是近似不变的，因此在求解过程中首先根据有限元软件求得该敏感场的灵敏度矩阵，然后就可以利用它得到不同的电导率分布图像，省略了每次电导率发生变化就需要重新计算灵敏度矩阵的繁琐的过程。在灵敏度系数算法中，用ST作为S的逆矩阵S?1的近似估计。即：
???ST?V (4-4)
灵敏度系数算法的优点在于其计算简单，只需计算一次灵敏度矩阵的转置及与测量电压矩阵的积即可得到所需要的结果，无需复杂的数学运算，因此其计算速度快，实时性能佳。然而，灵敏度系数算法的缺点也是很明显的，由于该算法只是很简单的将灵敏度矩阵的转置近似的视为其逆矩阵，没有经过任何的迭代及正则化处理，因此得到的图像只是对被测对象的一个很粗糙的模拟，无法对被测物体进行较为准确的分辨，重建出来的图像的质量和分辨率都较差，并且十分模糊。例如，用灵敏度系数算法重建多个相互距离比较近的物体时，所得到的图像是多个物体连接到一起的一个较大的模糊图像，无法将这几个物体的具体位置及个数分辨出来，因此用灵敏度系数算法进行图像重建难以区分被测物体的细微变化。该算法通常应用于需要快速成像、对成像精度要求不高的场合[42]。
4.3.2 Landweber算法研究
通过单步重建算法对图像进行重建，虽然成像的速度较快，但是只能得到不是很精确的模糊的重建图像，因此，如果需要得到高精度、分辨率高、重建的图像形状更逼近原型的图像，且对成像速度要求不高时，需要通过迭代算法来获得。
在各种迭代算法中，应用较为广泛的是迭代Landweber算法。迭代
28
第4章 EIT技术图像重建算法
Landweber算法就是通过雅克比矩阵S求取其广义逆矩阵ST的迭代算法。
假设雅克比矩阵的广义逆矩阵是ST，用Ak(k?1,2,?)作为它的近似估计，则它的近似程度可以用残差：
Rk?I?SAk (4-5)
来进行衡量，很明显，当Ak?ST时，Rk?0。
应用迭代Landweber算法进行迭代运算时，首先应该选定ST的估计矩阵的初始矩阵A0，然后选取迭代公式：
Ak?1?Ak?A0Rk (k=0,1,2,…) (4-6) 或者将其表示为：
Ak?1?Ak?A0(I?SAk) (k=0,1,2,…) (4-7) 如果迭代到第k+1步时，Ak?1已经与S?1已经非常接近，那么此时有：
??k?1?Ak?1?V (4-8)
如果选择一个合适的初始矩阵A0进行Landweber迭代运算，最终使
Ak?ST，则可以获得一个较为精确的电导率分布??k?1。为了验证存在这种初始矩阵A0，进行以下证明。
由式(4-6)可得：
SAk?1?SAk?SA0Rk (4-9)
由式(4-5)可得：
SAk?1?I?Rk?1 (4-10)
将(4-9)和(4-10)综合到一起可以得到：
SAk?SA0Rk?I?Rk?1 (4-11)
则：
Rk?1?I?SAk?SA0Rk?Rk?SA0Rk?(I?SA0)Rk?R0Rk (4-12) 由(4-12)可知：
23k?2 (4-13) Rk?R0Rk?R0Rk?1?R0Rk?2???R0将上式代入式(4-6)则有：
Ak?1?Ak?A0Rk?Ak?A0R0k?1?Ak?1?A0R0k?A0R0k?1???A0(I?R0?R??R
29
20k?10) (4-14)
因此如果想要使得Ak?ST成立，只需要证明Ak是收敛的，也就是证
燕山大学本科生毕业设计(论文)
2k?1明I?R0?R0是收敛的即可。由矩阵分析中的理论可以知道：??R02k?1可以收敛，其收敛的条件为： I?R0?R0??R0R02?1 (4-15)
在本文中，应用迭代Landweber算法求解逆问题时，选择A0?ST，根据EIDORS软件对传输管道测量截面进行有限元建模及求解正问题的结果所得的雅克比矩阵S，将其代入R0?I?SA0，并求R02
的值，得
R02=0.9858<1。因此当选择A0?ST时，经过一定的迭代运算，可以得到Ak?ST。
Landweber迭代算法以迭代的方法求解Ak，使其逐渐接近于雅克比矩阵的广义逆矩阵ST，与灵敏度系数算法用ST近似代替S?1相比，具有更高的精度。而且整个迭代过程可以在测量时提前进行，当测量时，只需进行Ak与测量的电极上的电压的变化?V之间的矩阵运算，因此运算速度快，可以实现实时测量。然而，Landweber迭代算法的半收敛性质是它的一个严重的缺点。在迭代运算中，只有最初的几步具有较快的收敛速度，然而当迭代过程的继续进行时，迭代次数不断增加，收敛的速度会大大降低，到后来几乎不发生变化。因此，在一系列迭代运算中，图像的失真程度即误差刚开始改善的很明显，但当其误差下降到最低点以后，如果继续进行迭代运算，图像的效果反而会恶化。因此，盲目的增加迭代的次数，然而不会得到理想的图像。使用迭代Landweber算法求解逆问题时，需要选择合适的迭代次数。需要确定一些参数，如残差的范围，来决定迭代过程在何时终止[43]。
4.3.3 Tikhonov算法研究
根据最小二乘法原理可以求解EIT中雅克比矩阵的逆矩阵，在此基础上对其进行改进，可以推导出能够得到更为稳定的解的广义逆算法，即Tikhonov正则化[44]，该算法在医学CT中、数值运算及其他不适定问题求解中都有广泛的应用，其基本原理如下：
假设方程(4-3)左端无法得到精确的测量电压变化?V，只有一个与?V~就范数的意义而言相差不大于?的测量电压变化?V，即测量的电压变化与真实的边界电压变化存在一个不超过?的扰动，则式(4-3)可以转化为式(4-5)：
30