发布时间 : 星期一 文章2018版数学人教A版选修2-3学案：第三章 统计案例 含答案 精品更新完毕开始阅读23d39567bb0d4a7302768e9951e79b896802689c
1 回归分析与独立性检验的理解与加深
一、回归分析
^
^
^
1．回归方程y＝bx＋a，其中：
n^
i＝1
n
∑ ?xi－x??yi－y?∑xiyi－nx y^^
i＝1
b＝＝n，a＝y－bx. n222
∑ ?xi－x?∑xi－nx＝＝
i1
i1
n^
i＝1(注：b＝
∑xiyi－nx y
2
∑xi－ni＝1nx
2
主要方便计算，其中(xi，yi)为样本数据，(x，y)为样本点的中心)
公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势． 公式联系：是进行残差分析的基础． 2．样本相关系数的具体计算公式：
n
r＝
i＝1ni＝1
∑ ?xi－x??yi－y?
2ni1
2
∑ ?xi－x?∑ ?yi－y?＝
ni＝1
＝
22
?∑x2y2i－nx??∑i－ny?＝＝
nni1
i1
∑xiyi－nx y
公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当r>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率b的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关． (2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．
散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．
相关系数r是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠．
3．我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝1－
n
n
^
i1
ni＝1
∑ ?yi－yi?2＝
2
n^
＝
∑ ?yi－y?
∑ ?yi－y?－∑ ?yi－yi?2＝＝i1i1
n2
∑ ?yi－y?＝
i1
2
用R来刻画回归的效果．对于已经获取的样本数据，R表达式中的∑ (y－y)为确定的i＝
i1
22数．因此R越大，意味着残差平方和∑ (y－y)越小，即模型的拟合效果越好；R越小，残ii＝
i1
2
n
^
2
2
n
2
差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2大的回归模型． 二、独立性检验
(一)基础概念的梳理与理解
1．分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为有宗教信仰与无信宗教信仰两种．像这样的变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种．
2．两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的．
3．2×2列联表：列出的两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}的样本频数表称为2×2列联表(如下表).
x1 x2 总计
(二)两个分类变量是否有关的粗略估计 等高条形图
y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
ac
由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据要比小得多，因此，
a＋bc＋d说明两分类变量X和Y有关系成立的可能性较大．
重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况． (三)独立性检验的基本思想
上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的．但是上面的分析给了我们一种重要的思想方法．
下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法． 1．基本思想与图形的联系
ac
假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：≈?|ad－bc|＝0.
a＋bc＋dn?ad－bc?2
构造随机变量K＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何记忆，其特点是
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
什么？结合2×2列联表理解)．
显然所构造的随机变量与|ad－bc|的大小具有一致性． 2．独立性检验的思想方法
如果K2的观测值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果K2的观测值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法． 3．得到K2的观测值k常与以下几个临界值加以比较：
如果k>2.706，就有90%的把握认为两分类变量X和Y有关系；如果k>3.841，就有95%的把握认为两分类变量X和Y有关系；如果k>6.635，就有99%的把握认为两分类变量X和Y有关系；如果k>10.828，就有99.9%的把握认为两分类变量X和Y有关；如果k≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X和Y有关系．
像这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
2 回归分析题型归纳
相关关系是自然中普遍存在的关系，高考中对具有线性相关关系的考查已成为趋势，有的考查概念性质，更多是考查线性回归方程的实际应用，下面精选几例题型供赏析． 一、考查相关系数
例1 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的
线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( ) A．r2 解析 方法一 由散点图可以得出结论： 变量X与Y正相关；变量U与V负相关． 故r1>0，r2<0，因此选C. 方法二 由线性相关系数公式知 B．0 i＝1 ? ?xi－x??yi－y? . 2 n r＝ i＝1 ? ?xi－x? n i＝1 ? ?yi－y?2 n ∵X＝U＝11.72，Y＝V＝3， Xi＝Ui(i＝1,2，…，5)，Yi＝V6－i(i＝1,2，…，5)， ∴ i＝1 ? ?Xi－X? 5 5 2 i＝1 ? ?Yi－Y?2 5 5 ＝ i＝1 ? ?Ui－U? 2 i＝1 ? ?Vi－V?2. 令? (Xi－X)(Yi－Y)＝A i＝1 5 ＝(10－X)(1－Y)＋(11.3－X)(2－Y)＋(11.8－X)·(3－Y)＋(12.5－X)(4－Y)＋(13－X)(5－Y)， i＝1 ? (Ui－U)(Vi－V)＝B 5 ＝(10－U)(5－V)＋(11.3－U)(4－V)＋(11.8－U)·(3－V)＋(12.5－U)(2－V)＋(13－U)(1－V)， ∴A>0，B<0，∴r1>0，r2<0. 答案 C 二、考查线性回归直线的性质 例2 已知x与y之间的几组数据如下表： x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4