发布时间 : 星期一 文章高一数学知识拓展篇更新完毕开始阅读23d65e09f78a6529647d532a
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知 识 拓 展 篇
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A ?B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域 思路：设函数f(x)的定义域为D，即x?D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)?D，解得x?E，E为f?g(x)?的定义域。 例1. 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。 解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u?(0，1)，所以f的作用范围为（0，1） 又f对lnx作用，作用范围不变，所以0?lnx?1 解得x?(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e） 例2. 若函数f(x)?1x?1，则函数f?f(x)?的定义域为______________。 1x?1解析：先求f的作用范围，由f(x)?，知x??1 即f的作用范围为?x?R|x??1?，又f对f(x)作用 所以f(x)?R且f(x)??1，即f?f(x)?中x应满足??x??1?即?1，解得x??1且x??2 ??1??x?1?x??1?f(x)??1 故函数f?f(x)?的定义域为?x?R|x??1且x??2? （2）、已知f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域
思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x?E，E为f(x)的定义域。
例3. 已知f(3?2x)的定义域为x???1，2?，则函数f(x)的定义域为_________。
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解析：f(3?2x)的定义域为??1，2?，即x???1，2?，由此得3?2x???1，5? 所以f的作用范围为??1，5?，又f对x作用，作用范围不变，所以x???1，5? 即函数f(x)的定义域为??1，5?
2例4. 已知f(x?4)?lg2x2x?8，则函数f(x)的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由f(x?4)?lg2x22x?8，知x22x?8?0 解得x2?4?4，f的作用范围为(4，??)，又f对x作用，作用范围不变，所以x?(4，??)，即f(x)的定义域为(4，??) （3）、已知f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域 思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)?E，解得x?F，F为f?h(x)?的定义域。
例5. 若函数f(2x)的定义域为??1，1?，则f(log2x)的定义域为____________。
?1解析：f(2)的定义域为??1，1?，即x???1，1?，由此得2??，2? ?2?xx?f的作用范围为?1?，2 ?2???又f对log2x作用，所以log2x??，2?，解得x??2?即f(log2x)的定义域为
?1??2，4 ??2，4
?评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习：
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21、 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。
答案：[?1,1]
2、 已知函数f(3?2x)的定义域为[?3,3]，求f(x)的定义域。 答案：[?3,9]
3、 已知函数y?f(x?2)的定义域为(?1,0)，求f(|2x?1|)的定义域。
(?12,0)?(1,3)答案：
2
4、设f?x??lg2?x?x??2?，则f???f??的定义域为（ ） 2?x?2??x? A. ??4,0???0,4? B. ??4,?1???1,4? C. ??2,?1???1,2? D. ??4,?2???2,4? x??2??2,?2?x?2?0得，f(x)的定义域为?x|?2?x?2?。故?解：选C.由，解得2?x2??2??2.?x??x??2?x???4,?1???1,4?。故f???f??的定义域为??4,?1???1,4? ?2??x?5、已知函数f(x)的定义域为x?(?????［解析］由已知，有?????1?ax?3,13x,)，求g(x)?f(ax)?f()(a?0)的定义域。 22a????22??1x3????,?2a2?12?x?32112aa2?x?3232aa., ?x?（1）当a?1时，定义域为{x|?（2）当
32a?32}； ??a2a，即0?a?1时，有?a2?x?32a}；
12a2a，
定义域为{x|?（3）当
32a?32a，即a?1时，有?1?x?32a}. 12a??a2，
定义域为{x|?2a故当a?1时，定义域为{x|??x?32a}；
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当0?a?1时，定义域为{x|?a2?x?32a}.
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明 已知函数y?f(g(x)).若u?g(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y?f(g(x))在区间(a,b ）上是增函数.
证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使a?x1?x2?b 因为u?g(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)?g(x2),记u1?g(x1), u2?g(x2)即u1?u2,且u1,u2?(c,d) 因为函数y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)?f(u2),即f(g(x1))?f(g(x2))， 故函数y?f(g(x))在区间(a,b）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
y?f(u) u?g(x) y?f(g(x)) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数y?f(g(x))的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：y?f(u)与u?g(x)。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y?f(g(x))为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y?f(g(x))为减函数。
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