发布时间 : 星期五 文章高一数学知识拓展篇更新完毕开始阅读23d65e09f78a6529647d532a
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?f(1)?a?b?c?0且a?b?c,?a?0且c?0,???b?4ac?0,?f(x)
2的图象与x轴有两个交点.
（2）?f(1)?0，∴1是f(x)?0的一个根，由韦达定理知另一根为∴a?0且c?0,??0?1,又a?b?c,b??a?c,
acca，
则a(m?ca)(m?1)??a?0?ca?m?1?m?3?ca?3??2?3?1
?f(x)在（1，+∞）单调递增，?f(m?3)?f(1)?0，即存在这样的m使
f(m?3)?0 （3）令g(x)?f(x)??g(x1)?g(x2)?[f(x1)?12[f(x1)?f(x2)]，则g(x)是二次函数. ][f(x2)?f(x1)?f(x2)2]??14[f(x1)?f(x2)]?0 2f(x1)?f(x2)2 又?f(x1)?f(x2),g(x1)?g(x2)?0,?g(x)?0有两个不等实根，且方程g(x)?0的根必有一个属于(x1,x2). 例5：（1）已知函数f(x)?ax2?a?2，若f(x)?0有解，求实数a的取值范围； （2）已知f(x)??x2?4x，当x?[?1,1]时，若f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围。 解：（1）f(x)?0有解，即ax2?a?2?0有解?a(x2?1)?2有解?a??a?|2x?122x2?1有解
|min?2.所以a?(??,2). （2）当x?[?1,1]时，f(x)?a恒成立?[f(x)]min?a.又当x?[?1,1]时，[f(x)]min?f(?1)??5，所以a?(??,?5). 点评：“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）f(x)?a恒成立?[f(x)]min?a；（2）f(x)?a恒成立（4）f(x)?a有解?[f(x)]min?a. ?[f(x)]max?a;（3）f(x)?a有解?[f(x)]max?a；
例6:（1）若函数y?（2）若函数y?3x?49x4?3x?m?9x在区间(??,2]上有意义，求实数m的取值范围； 4?3x?m?9x的定义域为(??,2]，求实数m的取值范围。
解：（1）由题意知，当x?(??,2]时，恒有4?3x?m?9x?0，即恒有
m??11??[()x?4()2x].
3311138133又因为f(x)??[()x?4()2x]在(??,2]上单调递增，所以m?[f(x)]max?f(2) ??所以m??1381.
，
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（2）由题意知，不等式4?3x?m?9x?0，即4()2x?()x?m?0的解是x?2，易解
3311得，()x?31?1?1?16m8，
?2，解方程log?1?13则x?log?1?131?16m81?16m8?2，得m??1381.
[点评]：“有意义”与“定义域”是两个不同的概念。一般地，在某个条件下函数“有意义”，是指在该条件下，使得函数有意义的某个式子总成立；而若某个条件为函数的“定义域”，则是指使得函数有意义的自变量的范围就是该条件。
（三）、|同步练习：
1．设b?0，二次函数y?ax2?bx?a2?1的图象为下列之一： 则a的值为（ ） A．1
B．?1 C．?1?25 D．?1?25 ［解析］∵b?0，∴图象①②不可能，又③④过原点O，∴f(x)?0，即a2?1?0，故a??1，又b?0，如果a?1，则?b2a?0，与③④图象矛盾. ∴a??1，故选B。
2．方程x2?(m?2)x?5?m?0的两根都大于2，则m的取值范围是（ ） A．(?5,?4] B．(??,?4) C．(??,?2) D．(??,?5)?(?5,?4] ［解析］令f(x)?x2?(m?2)x?5?m要使f(x)?0的两根都大于2，则 ????(m?2)2?4(5?m)?0,? ?f(2)?0,?2?m??2.?2解得?5?m??4. 故选A。
3、已知关于x的方程ax?2(a?1)x?a?1?0，探究a
为何值时（1）方程有一根（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于1（4）一根大于1一根小于1
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答案：（1）a?0,或a??213（2）0?a?1（3）无解（4）a?0
4、若关于x的方程2ax?x?1?0在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围。。 答案：a?1
5、已知二次函数y?f(x)的两个零点x1?0,x2?1,且其图象的顶点恰好在y?log的图象上。
（1）求f(x)的解析式。
（2）设f(x)在[t,t?1]的最小值为g(t)，求g(t)的表达式 答案：（1）f(x)?4x2?4x
?4t2?4t,t??0.5?（2）g(t)???1,?0.5?t?0.5 ?2?4t?4t,t?0.52x6．设f(x)?3ax2?2bx?c，若a?b?c?0,f(0)?f(1)?0，求证： （1）方程f(x)?0有实根； （2）?2?ba??1； （3）设x1,x2是方程f(x)?0的两个实根，则［解析］（1）若a?0，则b??c, f(0)?f(1)?c(3a?2b?c)??c2?0, 33?|x1?x2|?23. 与已知矛盾， ∴a?0. 方程3ax2?2bx?c?0的判别式??4(b2?3ac)， 由条件a?b?c?0，消去b，得??4(a2?c2?ac)?4[(a?故方程f(x)?0有实根. （2）由f(0)?f(1)?0，得c(3a?3b?c)?0, 由条件a?b?c?0，消去c，得(a?b)(2a?b)?0. ∵a2?0, ∴(1?ba)(2?baba)?0,
12c)2?34c2]?0, 故?2???1.
2b3a,x1x2?c3a??a?b3a（3）由条件，知x1?x2??，
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∴(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2?∵?2?∴
134b321(?)?. 9a23ba??1,
4923?(x1?x2)2?3.
故
3?|x1?x2|?.
7．已知a?R,二次函数f(x)?ax2?2x?2a.设不等式f(x)?0的解集为A，又知集合
B?{x|1?x?3}.若A?B??，求a的取值范围。 ［解析］由f(x)为二次函数a?0. 1a1a21a1a2令f(x)?0解得其两根为x1?由此可知x1?0,x2?0. ?2?,x2??2?. （1）当a?0时，A?{x|x?x1}?{x|x?x2}. A?B??的充要条件是x2?3，即 1a?2?1a2?3. 解得a?67. （2）当a?0时，A?{x|x1?x?x2}. A?B??的充要条件是x2?1，即 1a?2?1a2?1, 解得a??2.
综上，使A?B??成立的a的取值范围为(??,?2)?(,??).
768、（1）求y?4?2（2）关于x的4?2xxx?1x?1的值域
?a?0方程有解，求实数的a范围。
解析：本题是可转化为二次函数区间最值问题的题目。 答案：（1）[?1,??) （2）a?1
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