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线性代数应用题集锦
郑 波
重庆文理学院数学与统计学院
2011年10月
目 录
案例一. 交通网络流量分析问题................................................................................ 1 案例二. 配方问题........................................................................................................ 4 案例三. 投入产出问题................................................................................................ 6 案例四. 平板的稳态温度分布问题............................................................................ 8 案例五. CT图像的代数重建问题............................................................................. 10 案例六. 平衡结构的梁受力计算.............................................................................. 12 案例七. 化学方程式配平问题.................................................................................. 15 案例八. 互付工资问题.............................................................................................. 17 案例九. 平衡价格问题.............................................................................................. 19 案例十. 电路设计问题.............................................................................................. 21 案例十一. 平面图形的几何变换.............................................................................. 23 案例十二. 太空探测器轨道数据问题...................................................................... 25 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码........................................................................ 26 案例十四. 显示器色彩制式转换问题...................................................................... 28 案例十五. 人员流动问题.......................................................................................... 30 案例十六. 金融公司支付基金的流动...................................................................... 32 案例十七. 选举问题.................................................................................................. 34 案例十八. 简单的种群增长问题.............................................................................. 35 案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解.............................................. 37 案例二十. 最值问题.................................................................................................. 39 附录 数学实验报告模板............................................................................................ 40
这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.
案例一. 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况
图2 某城市单行线示意图
【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
1
400 500 1 x2 100 3 200 图3 某城市单行线车流量
(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.
(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
(4) 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?
【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足
500 = x1 + x2 ① 400 + x1 = x4 + 300 ② x2 + x3 = 100 + 200 ③ x4 = x3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组
x3 x1 x4 4 300 2 300 ?500?x1?x2?x?x4??100?1 ?x?x?30023???x3?x4?300?其增广矩阵
?1?1(A, b) =?0??0?由此可得
1010001?10?101500??100?初等行变换?????300??300???x1?x4??100??x2?x4?600 ?x?x??300?34?1?0?0??0?01000010?1?100?1600?
?1?300??00??即
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