发布时间 : 星期日 文章高考数学专题（二）解析几何综合题解题思路案例分析更新完毕开始阅读24b0e6d5360cba1aa811dac7
高考数学专题（二）
解析几何综合题解题思路案例分析
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关.
1 判别式----解题时时显神功
y2x2??1，案例1 已知双曲线C:直线l过点A2,0，斜率为k，当0?k?1时，22??双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研
究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式??0. 由此出发，可设计如下解题思路：
l:y?k(x?2)
?0?k?1? 2
直线l’在l的上方且到直线l的距离为
l':y?kx?2k2?2?2k
把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式??0
解得k的值 解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
问题 kx?2?x2?2k关于x的方程k?12?2?0?k?1?有唯一解 转化为一元二次方程根的问题 求解 当前第 1 页共7页
简解：设点M(x,2?x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：
kx?2?x2?2k
k?122?2 ?0?k?1? ???
于是，问题即可转化为如上关于x的方程. 由于0?k?1，所以2?x?x?kx，从而有
kx?2?x2?2k??kx?2?x2?2k.
于是关于x的方程??? ??kx?2?x2?2k?2(k2?1)
?2?x22?(2(k2?1)?2k?kx)2,? ??
2??2(k?1)?2k?kx?0?k2?1x2?2k2(k2?1)?2kx?? ??2??2(k?1)?2k?kx?0. 由0?k?1可知： 方程k?1x?2k???????2(k2?1)?2k?2?0,?2
?2?2?2(k?2?1)?2kx???2(k2?1)?2k?2?0的二根同正，
?22故2(k?1)?2k?kx?0恒成立，于是???等价于
?k
2?1x?2k2(k?1)??222k?x??2(k2?1)?2k??2?0.
2由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式??0，就可解得 k?25. 5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
2 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效
案例2 已知椭圆C:x?2y?8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，
22在线段AB上取点Q，使
APAQ??，求动点Q的轨迹所在曲线的方程. PBQB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，
应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
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由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：
APAQ4(xA?xB)?2xAxB??来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x?，要建PBQB8?(xA?xB)立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
APAQ
?? PBQB
4(xA?xB)?2xAxB
x?8?(xA?xB)
将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理
x?f?k?
利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程
在得到x?f?k?之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到
关于x,y的方程（不含k），则可由y?k(x?4)?1解得k?可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设A?x1,y1?,B(x2，y2),Q(x,y)，则由
y?1，直接代入x?f?k?即x?44?x1x?x1APAQ??可得：， ?PBQBx2?4x2?x解之得：x?4(x1?x2)?2x1x2 （1）
8?(x1?x2)设直线AB的方程为：y?k(x?4)?1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：
?2k2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 （2）
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4k(4k?1)?x?x?,122??2k?1∴ ? 2?xx?2(1?4k)?8.12?2k2?1?代入（1），化简得：x?4k?3. (3) k?2与y?k(x?4)?1联立，消去k得：?2x?y?4?(x?4)?0.
在（2）中，由???64k?64k?24?0，解得
22?102?10，结合（3）?k?44可求得
16?21016?210?x?. 9916?21016?210）. ?x?99故知点Q的轨迹方程为：2x?y?4?0 （
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、
韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
3 求根公式-----呼之欲出亦显灵
APx2y2??1顺次交于A、B两点，试求案例3 设直线l过点P（0，3），和椭圆的
PB94取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：
APx=?A，但从此后却一筹莫展, 问题的PBxB根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所
求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手，
APx=?A已经是一个关系式，但由于有两个变量PBxBxA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜
率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
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