发布时间 : 星期日 文章高考数学专题(二)解析几何综合题解题思路案例分析更新完毕开始阅读24b0e6d5360cba1aa811dac7
简解1:当直线l垂直于x轴时,可求得
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 xA= f(k),xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB) 得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围
所求量的取值范围 AP1??; PB5当l与x轴不垂直时,设A?x1,y1?,B(x2,y2),直线l的方程为:y?kx?3,代入椭圆方程,消去y得
?9k解之得 x1,22?4x2?54kx?45?0
??27k?69k2?5?. 29k?4因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑k?0的情形.
?27k?69k2?5?27k?69k2?5当k?0时,x1?,x2?, 229k?49k?4x1?9k?29k2?518k18AP所以 =1?=1???=
PBx29k?29k2?59k?29k2?59?29?522由 ??(?54k)?1809k?4?0, 解得 k?.
k2??25, 9所以 ?1?1?189?29?5k21??,
5综上 ?1?
AP1??. PB5
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原
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因在于
xAP??1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有PBx2了,即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.
简解2:设直线l的方程为:y?kx?3,代入椭圆方程,消去y得
把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k),xA xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围
关于所求量的不等式 ?9k则
2?4x2?54kx?45?0 (*)
??54k?x?x?,2??19k2?4 ?45?xx?.122?9k?4?x11324k2. 令??,则,???2?2?45k?20x2在(*)中,由判别式??0,可得 k?25, 9324k236?从而有 4?, 2545k?20所以 4???解得
1??2?36, 51???5. 51结合0???1得???1.
5AP1??. 综上,?1?PB5当前第 6 页共7页
点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.
解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.
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