发布时间 : 星期二 文章正余弦定理解三角形教案更新完毕开始阅读24bfbcd4f71fb7360b4c2e3f5727a5e9856a27cb
个性化教案
教师姓名 学科 课题名称 数学 学生姓名 年级 填写时间 上课时间 课时计划 正余弦定理解三角形 1．正、余弦定理解三角形． 教学目标 2．正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积． 3.正余弦定理的实际应用（灵活运用） 1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 教学重点 难 点 2．正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积． 【知识梳理】
abc
1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变
形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
abc
(3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
理可以变形为：cos A＝2bc，cos B＝2ac，cos C＝2ab.
111abc1
3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三
角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
4.三角形内角和为π，故有sin A >0 sin A＝sin(B+ C)，cos A＝－cos(B+ C) 5.三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若a>b, A> B,sin A> sin B 知一推二 6.正弦值(不是1)的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。 【常考考点】
1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积．
1
3.正余弦定理的实际应用（灵活运用）
【解题关键】
1．三角函数及三角恒等变换的基础．
2．正弦定理、余弦定理实现边角互化。（通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的正确选择）．
3.能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。 4.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。
5．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 解的 个数
【一条规律】
a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 无解 一解 两解 一解 一解 无解 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 【两类问题】
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 【两种途径】
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
2
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )． A．52 B．102 C.1063
D．56
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝45°， 由正弦定理得：ac
sin A＝sin C， 即
103＝c2
.∴c＝1063.
22
答案 C
2．在△ABC中，若sin Acos B
a＝b，则B的值为( )． A．30° B．45° C．60° D．90° 解析 由正弦定理知：
sin A＝cos B
sin Asin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
答案 B
3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( A．30° B．45° C．60° D．75° 解析 由余弦定理得：cos A＝b2＋c2－a21＋4－312bc＝2×1×2＝2，
∵0＜A＜π，∴A＝60°. 答案 C
4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝1
3，则△ABC的面积为(A．33 B．23 C．43 D.3 解析 ∵cos C＝1
3，0＜C＜π， ∴sin C＝22
3，
)． )． 3
1
∴S△ABC＝2absin C
122
＝2×32×23×3＝43. 答案 C
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________． 解析 ∵a2＋b2－c2＝－3ab， a2＋b2－c23
∴cos C＝2ab＝－2， 故C＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°
考点一 利用正弦定理解三角形
【例1】?在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.
[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
ab32解 由正弦定理得＝，＝，
sin Asin Bsin Asin 45°3
∴sin A＝2.
∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， 6＋2bsin C
c＝sin B＝2；
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， 6－2bsin C
c＝sin B＝2.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
π
【训练1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝
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