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第十四讲 重叠问题
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
NaNabNb
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 课堂练习：
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成
绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物
的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。 课堂练习：
1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有
19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年
报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。 课堂练习：
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不
会的有4人。两样都会的有多少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52
人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
例、4小杰从商场买回各种各样的花共48朵，数了数发现，红颜色的花有20朵，塑料花有24朵，玫瑰花有18朵，又发现红色的塑料花有5朵，红色的玫瑰花有6朵，塑料玫的瑰花有7朵，问红色的塑料玫瑰花有多少朵？
分析与解答：从题目中的已知条件可以知道：红色塑料花在红色花里面算过一遍，而在塑料花里面又计算一遍，因此要从红色花中减去一次；红色玫瑰花同样也要从玫瑰花中减去一次，而塑料玫瑰花则要从塑料花中减去一次。因此可得：20－5=15（朵）；18－6=12（朵）；24－7=17（朵），最后得出：15+12+17=44（朵）是不重复的，最后用全部花的总朵数减去不重复的：48－44=4（朵）就是三种都含有的，即红色塑料玫瑰花。 课堂练习：
1、三（1）班共有学生55人，今天戴帽子的有12人，穿蓝色衣服的有26人，穿运动鞋的有23人，而既戴帽子又穿蓝色衣服的有5人，既戴帽子又穿运动鞋的有2人，既穿蓝色衣服又穿运动鞋的有4人，问今天同时戴着帽子、穿着蓝色衣服、运动鞋的有几人？
2、某班有学生45人，其中有18人学电脑，有17人学美术，有27人学钢琴，其中既学电脑又学美术的有5人，既学美术又学钢琴的有3人，既学电脑又学钢琴的有4人，那么电脑、钢琴、美术三样都学的学生有多少人？
例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。 课堂练习：
1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110
件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件？
2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中
有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？
巩固练习
1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
2，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
4、食堂里做了一个调查，全班50人，爱吃鸡腿的有40人。爱吃鱼的有32人，爱吃蔬菜的有40人，既爱吃鸡腿又爱吃鱼的有28人，既爱吃鱼又爱吃蔬菜的有22人。既爱吃鸡腿又爱吃蔬菜的有30人，三种都爱吃的有多少人
5，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
周周测
1、在100名学生中，有78人语文测试得优秀，85人数学测试得优秀，最少有多少人语文、数学测试都得优秀？
2、某班有学生44人，书法爱好者有30人，体育爱好者有25人，每人至少有这其中一种爱好，这个班有多少人既爱好书法又爱好体育？
3、北京大学某班会说英语的有30人。会说法语的有25人。既会说英语又会说法语的有13人，全班学生至少会说一种外语，全班有多少学生？
4、植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有23棵不是五年级种的，有21棵不是六年级种的，五、六年级植的树共有8棵，其他年级种的树有多少棵？
5、全班57人考试，语文100分的有30人，数学100分的有36人，英语100分的有28人，两门得100分的共52人，有多少人三门都是100分？
6、某班有40个同学，参加作文竞赛的有26人，参加数学竞赛的有22人，作文和数学竞赛都参加的有10人，问多少个同学作文和数学竞赛都没有参加？
7、某班有68人，参加足球兴趣小组的有32人，参加排球兴趣小组的有30人，如果两个兴趣小组都没参加的有25人，那么同时参加足球、排球两个兴趣小组的有多少人？