发布时间 : 星期三 文章2021高考数学一轮复习第9章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线方程教学案文更新完毕开始阅读253c3f2e112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada9a
2
时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
5
②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为＋＝1，
2aa1
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
2综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
(2)由3x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3.
又直线过点A(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0. (3)设C(x0，y0)，则
xyM?
?5＋x0，y0－2?，N?7＋x0，y0＋3?.
?2?2??2??2?
5＋x0
因为点M在y轴上，所以＝0，
2所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以
y0＋3
2
＝0，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)， 5??所以M?0，－?，N(1,0)， 2??所以直线MN的方程为＋
1即5x－2y－5＝0.]
当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不
为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．
1.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
2x－3y＝0或x＋y－5＝0 [设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
2
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
3若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
x＝1， 5－2
yxyaa - 5 -
32
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
aa∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.] 2．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是
2
的直线方程是________． 2
π3π
，所以斜率为1或－1，直线
44
x－y＋1＝0或x＋y－3＝0 [由题意知，倾斜角为或
方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]
3．过点P(3,0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．
8x－y－24＝0 [设直线l与l1，l2的交点分别为A，B， 设A(x1，y1)，则B(6－x1，－y1)．
??2x1－y1－2＝0，
由题意得?
?6－x1＋－y1?
＋3＝0，
11
x＝，??3解得?16
y＝??3，
11
?1116?即A?，?.
?33?
y－0x－3
直线l的方程为＝，即8x－y－24＝0.]
1611－0－333
⊙考点3 直线方程的综合应用
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．
过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． [解] 设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 41
因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
xyabab - 6 -
41
(1)＋＝1≥2
ab414·＝，
abab所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立， 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小， 此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0. 8241
(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，
xyaba4b?41?所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·?＋?＝5＋＋≥5＋2
?ab?
baa4b·＝9，当且仅当a＝ba6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，
63即x＋2y－6＝0.
涉及与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题，可设直线方程为截距式．
[教师备选例题] 如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米． xy 10 [如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k＜0)，所以A?3－，0?，B(0,4－3k)， ?k?1?4?所以△ABO的面积S＝(4－3k)?3－? 2?k?16?1?＝?24－9k－?，因为k＜0， k?2?16所以－9k－≥2?4?k164?16?－9k?－?＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号，k3?k?此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为10米．] 1.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此
直线的方程为________．
- 7 -
xyx＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 [设所求直线的方程为＋＝1.
ab22
∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.
ab ①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， 1
∴|a|·|b|＝1. 2
??a－b＝1，
由①②可得(1)?
?ab＝2，???a＝2，
由(1)解得?
?b＝1，?
②
??a－b＝－1，
或(2)?
?ab＝－2.?
??a＝－1，
或?
?b＝－2，?
方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直21－1－2线的方程．]
2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋ay＝2a＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
1
[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x2
轴上的截距为a＋2，
112
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a＋2)
2221??152
＝a－a＋4＝?a－?＋，
4?2?1
当a＝时，四边形的面积最小，
21
故实数a的值为.] 2
2
2
2
xyxy - 8 -