发布时间 : 星期五 文章数学建模-安全跳伞的研究更新完毕开始阅读2548d42d915f804d2b16c195
即
vxdvdvx?vyy?0 公式1- 8 dtdtkg??2t??2tm1?e?e??mg???4g?3kg?k??2tm1?e????kg将（5）、（6）式代入（8）式得
m?kmv0233?kv0t?m??0 公式1- 9
w便是方程（9）的解，利用利用MATLAB编程求解（相关程序代码见附录2），并且准确地确定vmin及相应的w值。将数据代入公式，并化简得：
390.6251?ee??5??1?e??20t5??20t5t2035 ??0.625t?1?3?32?0
通过解方程，我们发此方程无解，说明当初速度v0?125m?s?1时，不会出现极小值，说明此数学模型的建立不太合理，我们通过采用模块Ⅱ来进行计算
并求解。
（二） 基于运动迭加跳伞安全模型的建立——模块Ⅱ
1. 运动的叠加
跳伞者在跳伞过程中，其动力学方程为：
ma?mg?f?v? 公式2- 1
空气阻力的大小f(v)?kv2，式中k为常数。
选取跳伞者跳离飞机处为坐标原点，竖直向上为y轴正向，飞机飞行方向为x轴正向。则（1）式可写为：
ma?mdvdt?kv2?mg 公式2- 2
（2）式在x、y轴投影为：
mdvx max???kvx2?vy2?vx 公式2- 3
dtmdvy may??kvx2?vy2?vy?mg 公式2- 4
dt（3）式和（4）式中都包含着另一方向的运动参量，也就是说，跳伞者在一个方向的运动状态必然影响到另一个方向的运动。因此，这两个分运动彼此交叉关联，不能独立。
7
2. 张伞前的a和v的变化规律
由（3）式和（4）式组成的方程组是有交叉项的一阶非齐次微分方程组，数学上没有解析，但由方程组（3）、（4）式可见，知道了跳伞者任一时刻的速度vx?t?、vy?t?，就可算出该时刻的加速度ax?t?、ay?t?。又根据加速度的定义
[3]
：
v?t??t??vx?t? 公式2- 5 axt?limx?t?t?0
ayt?lim?t?0vy?t??t??vy?t??t 公式2- 6
并做如下近似计算
vx?t??t??vx?t??ax?t???t 公式2- 7 vy?t??t??vy?t??ay?t???t 公式2- 8
进而可知，若知道了跳伞者前一时刻的速度vx?t?、vy?t?和加速度ax?t?、、（8）式可以算得下一时刻速度ax?t??t?、ay?t??t?。这样，ay?t?，由（7）
只要给出跳伞者离机时的初始速度v0，就可以计算出跳伞者在任一时刻的速度。
参照模型Ⅰ中的雷诺数，我们令k=0.375，此外，以m=75kg，v0=125m.s-1，g=10N.kg-1作为一般值，将以上数据代入公式(2)后，并化简得：
0.375v2?750 a? 公式2- 9
75用a作为纵坐标，v为横坐标，利用MATLAB作图得到图5.2，如下所示（相关程序代码见附录3）
8
图表 五-2 加速度a随速度v的变化曲线
3. 关于最佳跳伞时刻
我们发现，当跳伞员降落后，其加速度逐渐减小，直至减少为0。显然，根据曲线所反映的规律，我们可以看出当a=0，速度变为恒定，这时候便是开伞的最佳时期。
当a=0时，v2?2000。利用MATLAB编程（相关程序代码见附录4）对公式（9）的计算得v?20?52?44.72m?s?1。所以，当跳伞运动员速度降为44.72m.s-1时，既可以打开降落伞，以实现安全降落。
1六、 模型的评价
模块Ⅰ：在论证运动独立性上，我们通过建立相关数学模型，并利用
MATLAB软件编程作图，我们可以看出，跳伞运动员的速度会经过一个极小值
vmin，最后速度趋于vw。这时，运动员就可以打开降落伞了。但 “运动的独立性” 不是运动本身的特征，我们通过计算发现此模型建立的方程无解，说明当
9
初速度大于一定值时，跳伞运动员在下降过程中就不会出现极小值了。因此，模块Ⅰ的结果的误差可能会比较大，可能不适于跳伞运动员采用。
在模块Ⅱ：首先，我们考虑跳伞运动员下降过程中的两个分运动；接着我们根据动力学方程在x、y轴方向的投影分别计列出出vx、vy的计算公式；最
后利用MATLAB软件编程作出a—v的曲线图，我们根据图形就可以看出加速度一直在减小，说明速度也一直在减小，也就是说跳伞运动员下降过程中不出现极小值。我们通过图形可以看出，当a=0时，跳伞运动员速度达到第一收尾速度。因此，当速度降为44.72m.s-1，就是跳伞运动员打开降落伞的最佳时刻了。
七、 参考文献
[1]徐峥嵘，徐州高等师范学院，跳伞运动员是做平抛运动吗？—对“运动的描述”中插图的质疑，物理教师，第29卷第四期，3，5，2008年
[2]韩振海，魏瑛源，徐州高等师范学院，浅析跳伞过程中的速度变化规律，物理通报，第1期，46，1998年
[3]田杨萌，周学麒，贾金萍，河北科技大学基础部，也谈“跳伞过程过程中的速度变化规律”，物理通报，第11期，24，1998年
八、 附录
附录1：clear clc
ezplot('v.^2-(375/(3+1.875*t)).^2-2000*((1-exp(-2*t*sqrt(0.05)))/(1+exp(-2*t*sqrt(0.05)))).^2',[0,140,10]) axis([0 100 0 140]) arrow([0 0],[0 140]) arrow([0 0],[100 0]) gtext('v-t曲线') gtext('t/s') gtext('v/m.s-1') gtext('w')
saveas(gcf,'jianmo1.jpg')
附录2：clc clear
10
t=solve('32*sqrt(5)*(1-exp(-20*t*sqrt(5)))*exp(-20*t*sqrt(5))/(1+exp(-20*t*sqrt(5)))^3-390.625/(0.625*t+1)^3') t=double(t); A=t==real(t); tt=t(A)
附录3：clear clc
v=linspace(125,0,1000); a=(0.375*v.^2-750)/75; plot(v,a)
axis([0 125 0 70]) arrow([40 0],[130 0]) arrow([40 0],[40 70]) gtext('a-v曲线') gtext('v/m.s-1') gtext('a/m.s-2')
saveas(gcf,'jianmo3.jpg')
附录4：clc clear
v=solve('v^2-2000')
11