发布时间 : 星期日 文章立体几何中的建系设点更新完毕开始阅读255091c4b04e852458fb770bf78a6529647d35c2
立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识：
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
z1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点 2、x,y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
xOy（1）尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上
（2）找角：x,y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手系，所以在标
zD'FA'GEB'C'JCIxAHByx,y轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直?底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：
O① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：
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① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直
222④ 勾股定理逆定理：若AB?AC?BC，则AB?AC
（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D'点，坐标特点如下：
x轴：?x,0,0? y轴：?0,y,0? z轴：?0,0,z?
规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0
（2）底面上的点：坐标均为?x,y,0?，即竖坐标z?0，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出H,I点的坐标，位置关系清晰明了
OCI?1??1?H?1,,0?,I?,1,0? ?2??2?2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果A?x1,y1,z?在底面的投影为A?x2,y2,0?，那么
'AHBx1?x2,y1?y2（即点与投影点的横纵坐标相同）
由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的B点，其投影为B，而B?1,1,0?所以B?1,1,z?，而其到底面的距离为1，故坐标为B?1,1,1?
'''以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点
① 中点坐标公式：A?x1,y1,z1?,B?x2,y2,z2?，则AB中点M?图中的H,I,E,F等中点坐标均可计算
② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，
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?x1?x2y1?y2z1?z2,,222???，?
进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求A点的坐标，如果使用向量计算，则设A'?x,y,z?，
'?????????????''可直接写出A?1,0,0?,B?1,1,0?,B?1,1,1?，观察向量AB?AB，而AB??0,1,0? ，
'?x?1?0?x?1???????A'B'??x?1,y?1,z?1? ??y?1?1??y?0 ?A'?1,0,1?
?z?1?0?z?1??二、典型例题：
例1：在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，?BAC?90，棱AB,BC,CD的中点，AB?AC?1,PA?2，试建立适当的坐标系并确定各点坐标
BDE?PD,E,F分别是F空间直角ACA1B1C1D1E,F分别是棱BC,CC1例2：在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
上的点，CF?AB?2CE，AB:AD:AA1?1:2:4，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标。
例3：如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
AFDBECFAD?DC?CB?1,?ABC?60?，CF? 平面ABCD，
且CF?1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。 小炼：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z轴），对于x,y轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的
DCAB某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴。
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例4：已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA?AD?DC?1BC?a，E是BC中点，将2?BAE翻折成?B1AE，使得平面B1AE?平面
B'FADAECD，F为B1D中点
AD
BECEC
思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。
例5：如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点O,OA?4,OB?3,OP?4，且OP?平面ABCD，点M为PC的三等分点（靠近P），建立适当的直角坐标系并求各点坐标 小炼：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质
（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来
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