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第1章 CFD基础
17 不同；②控制湍流扩散的湍流普朗特数不同；③?方程中的产生项和Gk关系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生Gk，表示由于浮力影响引起的湍动能产生Gb；表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响YM。
湍动能产生项
Gk???ui?uj?Gb??gi?uj?xi (1-67)
?t?TPrt?xi (1-68)
式中：Prt是能量的湍流普特朗数，对于可实现k-?模型，默认设置值为0.85；对于重整化群k-?模型，Prt?1/?，??1/Prt?k/?Cp。热膨胀系数???浮力引起的湍动能产生项变为
Gb??gi1??????，对于理想气体，???T?p?t???Prt?xi (1-69)
5) 雷诺应力模型
雷诺应力模型(RSM)是求解雷诺应力张量的各个分量的输运方程。具体形式为
??t(?uiuj)???xk(?Ukuiuj)????xk[?uiujuk?p(?kjui??ikuj)]??Uj???Ui????uiuj????uiuk?ujuk??????(giuj??gjui?)??xk??xk?x?xkk?????u?ujip????x?xij???ui?uj?2??k(ujum?ikm?uium???2???x?xkk?jkm (1-70)
)式中：左边的第二项是对流项Cij，右边第一项是湍流扩散项DijT，第二项是分子扩散项DijL，第三项是应力产生项Pij，第四项是浮力产生项Gij，第五项是压力应变项?ij，第六项是耗散项?ij，第七项系统旋转产生项Fij。
在式(1-69)中，Cij、DijL、Pij、Fij不需要模拟，而DijT、Gij、?ij、?ij需要模拟以封闭方程。下面简单对几个需要模拟项进行模拟。
DijT可以用Delay和Harlow的梯度扩散模型来模拟，但这个模型会导致数值不稳定，
???t?uiuj??xk??k?xk??? (1-71) ??在Fluent中是采用标量湍流扩散模型：
Dij?T式中：湍流粘性系数用?t??C?k-?k2?来计算，根据Lien和Leschziner，?k?0.82，这和标准
模型中选取1.0有所不同。
压力应变项?ij可以分解为三项，即
?ij??ij,1??ij,2??ij (1-72)
w式中：?ij,1、?ij,2和?ijw分别是慢速项、快速项和壁面反射项，具体表述可以参见文献[2]。
18 Fluent高级应用与实例分析 浮力引起的产生项Gij模拟为
Gij???T?T?gj?giPrt??xj?xi??t????? (1-73)
耗散张量?ij模拟为
?ij?23?ij(???YM) (1-74)
式中：YM?2??Mt2，Mt是马赫数；标量耗散率?用标准k-?模型中采用的耗散率输运方程求解。
6) 大涡模拟
湍流中包含了不同时间与长度尺度的涡旋。最大长度尺度通常为平均流动的特征长度尺度。最小尺度为Komogrov尺度。LES的基本假设是：①动量、能量、质量及其他标量主要由大涡输运；②流动的几何和边界条件决定了大涡的特性，而流动特性主要在大涡中体现；③小尺度涡旋受几何和边界条件影响较小，并且各向同性，大涡模拟(LES)过程中，直接求解大涡，小尺度涡旋模拟，从而使得网格要求比DNS低。
LES的控制方程是对Navier-Stokes方程在波数空间或者物理空间进行过滤得到的。过滤的过程是去掉比过滤宽度或者给定物理宽度小的涡旋，从而得到大涡旋的控制方程：
???t?u??ui?xi?0 (1-75)
?ui?xj)??p?xj???ij?xj??t(?ui)???xj(?uiuj)???xj(? (1-76)
式中：?ij为亚网格应力，?ij??uiuj??ui?uj。
很明显，上述方程与雷诺平均方程很相似，只不过大涡模拟中的变量是过滤过的量，而非时间平均量，并且湍流应力也不同。
1.2.3 初始条件和边界条件
计算流体动力学(CFD)分析中，初始条件和边界条件的正确设置是关键的一步。现有的CFD软件都提供了现成的各种类型的边界条件，这里对有关的初始条件和边界条件作一般讨论。
1. 初始条件
顾名思义，初始条件就是计算初始给定的参数，即t?t0时给出各未知量的函数分布，如
?u?u(x,y,z,t0)?u0(x,y,z)?v?v(x,y,z,t0)?v0(x,y,z)???w?w(x,y,z,t0)?w0(x,y,z) (1-77) ?p?p(x,y,z,t)?p(x,y,z)00?????(x,y,z,t)??(x,y,z)00???T?T(x,y,z,t0)?T0(x,y,z)
第1章 CFD基础
19 很明显，当流体运动定常时，无初始条件问题。 2. 边界条件
所谓边界条件就是流体力学方程组在求解域的边界上，流体物理量应满足的条件。例如，流体被固壁所限，流体将不应有穿过固壁的速度分量；在水面这个边界上，大气压强认为是常数(一般在距离不大的范围内可如此)；在流体与外界无热传导的边界上，流体与边界之间无温差，如此等。由于各种具体问题不同，边界条件提法千差万别，一般要保持恰当：①保持在物理上是正确的；②要在数学上不多不少，刚好能用来确定积分微分方程中的积分常数，而不是矛盾的或有随意性。
通常流体边界分为流固交界面和流流(液液、液气)交界面，下面分别讨论。
1) 流固分界面边界条件
飞机、船舶在空气及水中运动时的流固分界面，水在岸边及底部的流固分界面，均属这一类。一般而言，流体在固体边界上的速度依流体有无粘性而定。对于粘性流体，流体将粘附于固体表面(无滑移)，即
v|F?v|S (1-78)
式中：v|F是流体速度；v|S是固壁面相应点的速度。式(1-78)表明，在流固边界面上，流体在一点的速度等于固体在该点的速度。对于无粘性流体，流体可沿界面滑移，即有速度的切向分量，但不能离开界面，也就是流体的法向速度分量等于固体的法向速度分量，即
vn|F?v|S (1-79)
另外，也可视所给条件，给出无温差条件：
T|F?T|S
(1-80)
式中：T|F是流体温度，T|S是固壁面相应点的温度。
2) 液液分界面边界条件
密度不同的两种液体的分界面就属于这一类。一般而言，对分界面两侧的液体情况经常给出的条件是
v1?v2,T1?T2,p1?p2 (1-81) (1-82) (1-83)
对应力及传导热情况给出的条件是
???1|2 ?n?TQ?k1|1?k2|2?n?n?n?T|1??2?u?u3) 液气分界面边界条件
液气分界面最典型的是水与大气的分界面，即自由面。由于自由面本身是运动和变形的，而且其形状常常也是一个需要求解的未知函数，因此就有一个自由面的运动学条件问题。设自由面方程为
F(x,y,z,t)?0 (1-84) 并假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则流体质点在自由面上一点的法向速度，应该等于自由面本身在这一点的法向速度。经过一系列推导(参见文献[2])，得到自由液面运动学条件：
20 Fluent高级应用与实例分析 ?F?t?v??F?0 (1-85)
如果要考虑液气边界上的表面张力，则在界面两侧，两种介质的压强差与表面张力有如下关系：
?11?p2?p1?????R2??R1 (1-86)
这就是自由面上的动力学条件。当不考虑表面张力时，有
p?pa (1-87) 式中：pa为大气压强。
4) 无限远的条件
流体力学中的很多问题，流体域是无限远的。例如，飞机在空中飞行时，流体是无界的。如果将坐标系取在运动物体上，这时无限远处的边界条件为
当x→?时，
u?u?，p?p? (1-88) 其中下标?表示无穷远处的值。
1.3 CFD模型的离散——有限体积法
1.3.1 CFD模型的数值求解方法概述
从上面的分析看到，CFD模型(控制方程)是一系列偏微分方程组，要得到解析解比较困难，目前，均采用数值方法得到其满足实际需要的近似解。
数值方法求解CFD模型的基本思想是：把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场(如速度场、温度场、浓度场等)，用一系列有限个离散点(称为节点，node)上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)，求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似解。在过去的几十年内已经发展了多种数值解法，其间的主要区别在于区域的离散方式、方程的离散方式及代数方程求解的方法这三个环节上。在CFD求解计算中用得较多的数值方法有：有限差分法(finite difference method，FDM)、有限体积法(finite volume method，FVM)、有限元法(finite element method，FEM)及有限分析法(finite analytic method，FAM)。下面简要介绍，后面将着重介绍有限体积法。
1. 有限差分法
有限差分法是历史上采用最早的数值方法，对简单几何形状中的流动与换热问题也是一种最容易实施的数值方法。其基本点是：将求解区域用与坐标轴平行的一系列网格线的交点所组成的点的集合来代替，在每个节点上，将控制方程中每一个导数用相应的差分表达式来代替，从而在每个节点上形成一个代数方程，每个方程中包括了本节点及其附近一些节点上的未知值，求解这些代数方程就获得了所需的数值解。由于各阶导数的差分表达式可以从Taylor(泰勒)展开式来导出，这种方法又称建立离散方程的Taylor展开法。