发布时间 : 星期日 文章《离散数学》题库及答案更新完毕开始阅读25c5232b7375a417866f8fff
的子群的充分必要条件是HK=KH。 证明：
?HK是G的子群。?c?HK，则c?HK，故存在a?H,b?K ,使得c
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=a·b。因为c=（a·b）=b·a。
-1-1-1
因为H和K都是G 的子群，所以a
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?H,b?K ，即c?KH。从而HK?KH。 ?c?KH，则存在a?H,b?K ,
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-1
使得c=b·a。因为c=（a·b）。因为H和K都是G 的子群，所以aHK是G的子群，所以c=（a·b）故HK=KH。
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-1
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?H,b?K ，即a
-1
-1
·b
-1
?HK。因为
?HK。从而KH?HK。
HK，有a1,a2
?HK=KH。对
?c，d
??H,b1,b2
?K ,使得c=a1·b1 ,d=a2·b2。则
c·d=( a1·b1)·(a2·b2)=(( a1·b1)·a2)·b2=( a1·(b1·a2))·b2。因为b1·a2?KH=KH，所以存在a3?H,b3?K ,使得b1·a2 =a3·b3。从而c·d=( a1·（b1·a2）·b2=(a1·（a3·b3）)·b2=(a1·a3)·(b3·b2)。因为H和K都是G的子群，故a1·a3?H, b3·b2?K。从而c·d?HK。
又c=(a1·b1)=b1·a1。因为H和K都是G的子群，故a以c
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-11
?H, b?K。从而c?KH。因为HK=KH，所
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-1
1
?HK。
综上所述，HK是G的子群。
65、设H和K都 是G的不变子群。证明：HK也是G 的不变子群。 证明：
先证HK是G 的子群。 对?a?HK，有hh·k·h
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?H，k?K，使得a=h·k。因为a=h·k=(h·k·h)·h，且K是G 的不变子群，所以
-1
?K。故a?KH。从而HK?KH。
同理可证，KH?HK。
故HK=KH。从而HK是G的子群。 下证HK是G的不变子群。
?HK，有h?H，k?K，使得b=h·k。故a·b·a=a·(h·k)·a=(a·h·a)·(a·k·a)。因为H和K都是G的不变子群，所以a·h·a?H且a·k·a?K。从而a·b·a?HK。故HK是G 的不变
对?a?G，b
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-1
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-1
-1
-1
-1
子群。
66、设
设c的阶为k。在a*b=c*b*a两边同时右乘b
a*b=(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=(c*b)*a*b
32n?2n?3nn?1n?1，再由a*b=c*b*a得
n?2=(c*b)*(a*b)*b
2n?3n?2=(c*b)*(c*b*a)*b
2
=(c*b)*(a*b)*b=?=(c*b)*a,
n=(c*b)*(c*b*a)*b
n?3
再由b*c=c*b及b 的阶为n得
a=a*b= (c*b)*a=(c*b)*a=c*a, 所以c=e。故由元素阶的定义有k|n。
由a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b得a*b=b*a*c，两边同时左乘aa
mm?1nnnnnn，再由a*b=b*a*c得
*b=a
m?1*(b*a*c)= a
m?2* (a*b)*(a*c)= a
33
m?2*(b*a*c)*(a*c)
= a= a
m?2m?3*b*(a*c)= a
32m?3*(a*b)*(a*c)= a
m2m?3*(b*a*c)*(a*c)
2*b*(a*c)=?=b*(a*c),
再由a*c=c*a及a 的阶为m得 b= a*b= b*(a*c)
mmm=b* a * c=b*c,
mmm 所以c=e。故由元素阶的定义有k|m。
由此可见，k是m和n的公因子，从而能整除m和n的最大公因子(m,n)。
（格与布尔代数）
67、当n分别是24，36，110时，
因为|S24|=8，|S36|=9，|S110|=8，故
用反证法证明。
设0=1。则任取a?L，则由于L是有界格，故a?1且0?a。即0?a?1。因为0=1且?是L上的偏序关系，所以a=0。这与已知|L|>1矛盾。 69、设(L,≤)是格，若a,b,c?L，a≤b≤c，则
a?b=b⊙c , (a⊙b)?(b⊙c)=(a?b)⊙(a?c) 证明：
因为a?b?c，所以a?b=a，a?b=b=b，且b=b?c，以c=b?c。从而a?b=b?c。 (a?b)?(b?c)=a?(b?c)=a?(a?b)=(a?a) ?b=a?b=b， (a?b)?(a?c)=(b?c)?(a?c)=b?(c?(a?c))=b?c=b。
70、在布尔代数中，证明恒等式a?(a?证明：
a?(a??b)=a?b
?b)=(a?a?)?(a?b)=1?(a?b)=a?b
71、设
? 显然是成立的。
? 对任一k=1,2,..,n，a?a???a?a，a?a?a???a。
1
2
n
k
k
1
2
n
因为a1?a2???an= a1?a2???an，且?是L上的偏序关系，故ak=a1?a2???an。从而a1=a2=?=an。
72、在布尔代数中，证明恒等式(ac)?(a?证明：
??b)?(b?c)=(a?c)?(a??b)
??b))?(b?c)=((a?c)?(b?c))?((a??b)?(b?c))
=(a?b?c)?(a??b?c)=(a?a?)?b?c=1?b?c=b?c, 故 b?c?(a?c)?(a??b)，从而
(a?c)?(a??b)?(b?c)=(a?c)?(a??b)。
((ac)?(a?
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73、在布尔代数中，证明恒等式(ab)?(a?证明：
??c)?(b??c)=(a?b)?c
??c)?(b??c)=(a?b)?((a??b?)?c) =(a?b)?((a?b)??c)=(a?b)?c。
(ab)?(a?74、设
因为a?b，c?d，所以a=a?b,c=c?d。从而
(a?c)?(b?d)=((a?c)?b)?d=(b?(a?c))?d=((b?a)?c)?d =a?(c?d)=a?c，
所以a?c?b?d。
75、当n分别是10,45时，画出
?? 5 ?2 5? 3? 1? ? 1
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76、在布尔代数中，证明恒等式
(a?证明：
(a? 10
??? 45
b?)?(b?c?)?(c?a?)=(a??b)?(b??c)?(c??a)
b?)?(b?c?)?(c?a?)
????a?)?(a?c??a?)?(a?c??c)?(b??b?c)
?(b??c??c)?(b??c??a?)?(b??b?a?)=(a?b?c)?(b??c??a?)， (a??b)?(b??c)?(c??a)
=(a??b??c?)?(a??b??a)?(a??c?c?)?(a??c?a)?(b?b??c?) ?(b?b??a)?(b?c?c?)?(b?c?a)=(a?b?c)?(a??b??c?)，
故(a?b?)?(b?c?)?(c?a?)=(a??b)?(b??c)?(c??a)。
=(abc)?(ab
77、设
I[a,b]={x?L|a≤x≤b}
则
?x,y?I[a,b],a≤x≤b且a≤y≤b。由定理6.1.1有a≤x?y≤b且a≤x?y≤b。从而x?y?I[a,b]
且x?y?I[a,b]。故I[a,b] 关于
?和?是封闭的，从而
78、设A＝{a,b,c}，求
P(A)={?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A}。在P(A)的所有非空子集中，只要它关于?和?是封闭
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的，则它就是
显然
<{?,{a}},?>、<{?,{b}},?>、<{?,{c}},?>、<{?,{a,b}},?>、<{?,{a,c}},?>、<{?,{b,c}},?>、<{?,A},?>、<{?,{c},{a,c},{b,c},A }，?>等都是
若≤是L上的全序关系，则它一定是良序关系(因为任一有限的全序集一定是良序集)。若设L={a,b,c,d}，则L的四个元素满足：a≤b≤c≤d。
若≤不是L上的全序关系，则L中一定存在两个元素（不妨设为b,c），b≤c和c≤b都不成立。因此b和b?c既不可能相等，也不可能是b和c。不妨记a=b≤a,b≤b,c≤c,d≤d,a≤b,a≤c,a≤d,b≤d,c≤d。
d? ?d
c? b? ?c
b? a ?
a?
80、设
用反证法证明。
若? a?A-{0,1}，a有补元a'。即a?a'=1，a若a?a'，则a= a81、格 ?c ?c,d=b?c。故 ?a'=0。因为?是A上的全序关系，所以a?a'或a'?a。 ?a'=0。若a'?a，则a= a?a'=1。无论如何，这与a?0,a?1矛盾。 ?(a?c))=(a?b)?(a?c) ?,?>是模格??a,b,c?L，有 a?(b 证明： ? ?a,b,c?L，记d= a?c。所以a?d,从而 a?(b ?(a?c))= a?(b?d)= (a?b)?d=(a?b)?(a?c)。 ? ?a,b,c?L，若a?c，则c= a?c。所以 (a?b) 82、设 ?c= (a?b)?（a?c）= a?(b?(a?c))= a?(b?c)。 ?,?>是分配格， a,b,c?L。若(a?b)＝(a?c)且(a?b)＝(a?c)，则b＝c。 36