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保险精算（第二版）
第一章：利息的基本概念
练 习 题
1．已知a?t??at?b，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在
2时刻8的积累值。
2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。
(2)假设A?n??100??1.1?，试确定 i1,i3,i5 。
3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 i1?10%，第2年的利率为i2?8%，第3年的利率为 i3?6%，求该笔投资的原始金额。
5．确定10000元在第3年年末的积累值:
(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 6．设m＞1，按从大到小的次序排列d?d(m)???i(m)?i。 7．如果?t?0.01t，求10 000元在第12年年末的积累值。、
8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
9．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t?存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
10. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。
11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21
12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。
A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987
nt积累，在时刻t (t=0)，两笔基金6第二章：年金
练习题
1．证明vn?vm?iam?an。
2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。
3. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。
?? 4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。
5．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知v10?1，计算K。 2 6． 化简a101?v10?v20 ，并解释该式意义。
7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。 8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为
??1，计算V(2)。 8?k 9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )
?1? A. ?? B. 3n C.
?3?1n1?1?n?? D.3 ?3?2n 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）
A.52 B.54 C.56 D.58
第三章：生命表基础
练习题
1．给出生存函数s?x??e?x22500，求：
(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。
4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 5. 如果?x?22,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。 ?x?1100?x A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56
6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|q20为（ ）。
1 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005
第四章：人寿保险的精算现值
练 习 题
1. 设生存函数为s?x??1?x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1元)： 100 (1)趸缴纯保费ā30:10的值。
1 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：1000A135:5??vk?1kpxqx?k?k?04dddd1d35(?362?373?384?395) l351.061.061.061.061.06查生命表l35?979738,d35?1170,d36?1248,d37?1336,d38?1437,d39?1549代入计算： 法二：1000A35:5?10001M35?M40
D35查换算表1000A35:5?10001M35?M4013590.22?12857.61?1000g?5.747
D35127469.0311000p35?1000A35:1?1000C35143.58?1000g?1.126D35127469.03C36144.47?1000g?1.203D36120110.2211000p36?1000A36:1?1000（2）
11000p37?1000A37:1?100011000p38?1000A38:1C37145.94?1000g?1.29D37113167.06 C148.05?100038?1000g?1.389D38106615.43C39150.55?1000g?1.499D39100432.5411000p39?1000A39:1?10001000(p35?p36?p37?p38?p39)?6.457（3）
111213141A35:5?A35:?vpA?vgpA?vgpA?vgpA35235335435136:137:138:139:1135:5?A?p35?p36?p37?p38?p39
3. 设Ax?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算： （1） Ax:20 。
1 （2） Ax:10 。改为求Ax:20
11 4． 试证在UDD假设条件下： (1) Ax:n?1i?A1x:n 。
i (2) āx:n?Ax:1?n? 。 A1x:n 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx?0.5,i?0,Var?z??0.1771 ，试求qx?1。
6．已知，A76?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：5000?RA30:20?R?其中
查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据l30,d30,d31,d32Ld49带入计算即可，或者i=0.06以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表M30,M50,D30带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据 8． 考虑在被保险人死亡时的那个数，j是死亡那年存活的完整
15000 1A30:201年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完整年m1年的时段数。 m(m) (1) 求该保险的趸缴纯保费 Ax。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明A(xm)?ii(m)Ax 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35 其中
所以趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35?178.05?1895?2073.05
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：3000A50:20?1500A50:20 其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：4000A30?1000(IA)30?4000其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
11111 1M30R?100030 D30D30