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《运筹学》习题集
第一章 线性规划
1．1 将下述线性规划问题化成标准形式 1) min z ＝ －3x1 ＋ 4x2 － 2x3 ＋ 5 x4
st.
4x1 － x2 ＋ 2x3 － x4 ＝ －2 x1 ＋ x2 － x3 ＋ 2 x4 ≤ 14 －2x1 ＋ 3x2 ＋ x3 － x4 ≥ 2 x1 ，x2 ，x3 ≥ 0，x4 无约束
2) min z ＝ 2x1 －2x2 ＋3x3
－ x1 ＋ x2 ＋ x3 ＝ 4 －2x1 ＋ x2 － x3 ≤ 6 x1≤0 ，x2 ≥ 0，x3无约束
st.
1．2
用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1) minz＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6
st 2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0
2) maxz＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st 3x1＋4x2≥12
x1，x2≥0
3) maxz＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st 5≤x1≤10
3≤x2≤8
4) maxz＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2
1．3 找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）minz＝5x1－2x2＋3x3＋2x4
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st －2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0
x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st 2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3
x1，x2，x3，x4≥0
《运筹学》习题集
1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz＝10x1＋5x2 3x1＋4x2≤9 st 5x1＋2x2≤8 x1，x2≥0
2) maxz＝2x1＋x2
3x1＋5x2≤15 st 6x1＋2x2≤24
x1，x2≥0
1．5 分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。 1) minz＝2x1＋3x2＋x3 x1＋4x2＋2x3≥8
st 3x1＋2x2 ≥6 x1，x2 ，x3≥0
2) max z ＝4x1＋5x2＋ x3
. 3x1＋2x2＋ x3≥18
St. 2x1＋ x2 ≤4
x1＋ x2－ x3＝5
3) maxz＝ 5x1＋3x2 +6x3 x1＋2x2 －x3 ≤ 18 st 2x1＋x2 －3 x3 ≤ 16 x1＋x2 －x3＝10 x1，x2 ，x3≥0
4)maxz?10x1?15x2?12x3?9?5x1?3x2?x3???5x1?6x2?15x3?15st.?x3?5?2x1?x2??x,x,x?0?123
1．6 求下表中a～l的值。 cj? CB 0 0 （a） 0 XB x4 x5 b 6 1 （a） x1 （b） -1 （a） （f） ［（g）］ 4 （h） 0 －1 x2 （c） 3 -1 2 （I） -7 - 2 -
2 x3 （d） （e） 2 -1 1 （j） 0 x4 1 0 0 1/2 1/2 （k） 0 x5 0 1 0 0 1 （l） ?j? x1 x5 ?j 《运筹学》习题集
1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。
1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲 乙 丙 原料成本(元/千克) 每月限量（千克）
A ≥60％ ≥15％ 2.00 2000 B 1.50 2500 C ≤20％ ≤60％ ≤50％ 1.00 1200 加工费（元/千克） 0.50 0.40 0.30 售 价 3.40 2.85 2.25
1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。 月 份 7 8 9 10 11 12 买进单价 28 24 25 27 23 23 售出单价 29 24 26 28 22 25
1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。
1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(
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第二章 对偶与灵敏度分析
2．1 写出以下线性规划问题的DLP 1) minz＝2x1＋2x2＋4x3
st
x1＋3x2＋4x3 ≥2 2x1＋ x2＋3x3 ≤3 x1＋4x2＋3x3 ＝5 x1，x2≥0，x3无约束 x1＋2x2＋2x3 ＝5 －x1＋5x2－ x3 ≥3 4x1＋7x2＋3x3 ≤8 x1无约束，x2≥0，x3≤0
2) maxz＝5x1＋6x2＋3x3
st
3) maxz＝c1x1＋c2x2＋c3x3
st
a11x1＋a12x2＋a13x3 ≤b1
a21x1＋a22x2＋a23x3 ＝b2 a31x1＋a32x2＋a33x3 ≥b3 x1≥0，x2≤0，x3无约束
2．2 st
对于给出的LP：
minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4 x1＋2x2＋3x3＋x4 ≥2 －2x1＋x2－x3＋3x4 ≤－3
xj≥0 （j=1,2,3,4） 1) 写出DLP；
2) 用图解法求解DLP；
3) 利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。
2．3 对于给出LP： maxz＝x1＋2x2＋x3
st
x1＋ x2－ x3 ≤2 x1－ x2＋ x3 ＝1 2x1＋ x2＋ x3 ≥2 x1≥0， x2≤0，x3无约束
1) 写出DLP；
2) 利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1
2．4 已知LP： maxz＝x1＋x2
st
－x1＋ x2＋ x3 ≤2
－2x1＋ x2－ x3 ≤1 xj≥0
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