发布时间 : 星期五 文章江苏省南京师范大学附属中学2020届高三模拟考试数学试题(附解析)更新完毕开始阅读26795482f321dd36a32d7375a417866fb84ac0ca
所以a＝1，即BC＝1．
17．建造一个容积为8m3、深为2m的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m2和80元/m2．
（1）求总造价y（单位：元）关于底边一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）如果要求总造价不超过2080元，求x的取值范围； （3）求总造价y的最小值．
【分析】（1）底边一边长x，则另一边长为＞0）；
（2）令y≤2080即可求出x的取值范围； （3）利用基本不等式求得x+从而求出总造价y的最小值．
解：（1）底边一边长x，则另一边长为∴y＝2（x+）×
，
，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，
，由题意可知y＝320（x+）+480 （x
＝320（x+）+480，
∴总造价y关于底边一边长x的函数解析式为：y＝320（x+）+480 （x＞0）； （2）由（1）可知：y＝320（x+）+480， ∴令y≤2080得，320（x+）+480≤2080， 解得：1≤x≤4，
∴当x∈[1，4]时，总造价不超过2080元； （3）∵x＞0，∴x+
，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，
∴y＝320（x+）+480≥320×4+480＝1760， ∴当x＝2时，总造价y的值最小，最小值为1760元． 18．在直角坐标系xOy中，已知椭圆线与椭圆C有两个交点A，B，且（1）求圆O的方程；
（2）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，
?
＝1，若圆O：x2+y2＝R2（R＞O）的一条切＝0．
且＝2，求直线MN的方程．
【分析】（1）假设圆的切线，与椭圆联立，得出两根之和及两根之积，由数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；
（2）设Q，N的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．
y）By'）解：（1）假设圆的切线的斜率存在时，设切线方程y＝kx+b，设A（x，，（x'，．联立与椭圆的方程整理：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣6＝0， x+x'＝
，xx'＝
，∴yy'＝k2xx'+kb（x+x'）+b2＝
﹣
+
因为：
＝，
＝0，所以：xx'+yy'＝0，
∴可得2b2﹣6+b2﹣6k2＝0，∴b2＝2+2k2；① 又与圆相切，所以
＝R，
∴b2＝R2（1+k2）②，由①②得，2+2k2＝2k2R2+R2， ∴R2＝2，
所以圆的方程x2+y2＝2； （2）由题意得M（0，（m﹣a，n﹣b）， 由题意得：∴a＝
，b＝
；
，
），设Q（m，n），N（a，b），
＝（a，b﹣
），
＝
而又由题意：，解得：4n2﹣4﹣9＝0，∴n＝（舍），n＝﹣，
m＝±，∴a＝±，b＝0，即N（±
＝1，
+
﹣
＝0，
，0），
所以直线MN的方程±即直线MN的方程19．已知函数
﹣y+．
＝0．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为2，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得a＝0，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；
（2）分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解． 解：（1）函数
f（x）的定义域为（0，+∞），
，
则f′（1）＝2（a+1）＝2，解得a＝0，
∴f（x）＝2xlnx+1（x＞0），f′（x）＝2（lnx+1）， 令f′（x）＞0，解得
；令f′（x）＜0，解得
，单调递增区间为
；
；
∴函数f（x）的单调递减区间为（2）函数
e） 在区间（1，上是一条不间断的曲线，
由（1）知，f′（x）＝2（ax+1）（lnx+1），
①当a≥0时，对任意x∈（1，e），ax+1＞0，lnx+1＞0，则f′（x）＞0，故函数f（x）在（1，e）上单调递增， 此时对任意的x∈（1，e），都有（1，e）上无零点；
②当a＜0时，令f′（x）＝0，解得（i）若
或
，其中
，
成立，从而函数f（x）在区间
，即a≤﹣1，则对任意x∈（1，e），f′（x）＜0，故函数f（x）在区
间（1，e）上单调递减， 由题意可得
，解得
，
其中，
即②若
，即
，故a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1；
，则对任意x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在
区间（1，e）上单调递增， 此时对任意x∈（1，e），都有e）上无零点； ③若在区间对任意由题意可得其中值范围为
，
．
，即
上单调递增，
，函数f（x）在区间
，解得
，即
，
，所以a的取上单调递减，
，则对任意
，所以函数
成立，从而函数f（x）在区间（1，
综上所述，实数a的取值范围为
20．{bn}、{cn}，cn＝an+an+（已知数列{an}、对于给定的正整数k，记bn＝an﹣an+k，．若kn∈N*） 对任意的正整数n满足：bn≤bn+1，且{cn}是等差数列，则称数列{an}为“H（k）”数列．（1）若数列{an}的前n项和为Sn＝n2，证明：{an}为H（k）数列；
（2）若数列{an}为H（1）数列，且a1＝1，b1＝﹣1，c2＝5，求数列{an}的通项公式； （3）若数列{an}为H（2）数列，证明：{an}是等差数列． 【分析】（1）直接利用定义法证明数列为H（k）数列．
（2）利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式． （3）直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列． 【解答】证明：（1）当n≥2时，当n＝1时，a1＝S1＝1符合上式， 则：an＝2n﹣1 所以：bn＝an﹣an+k，
＝2n﹣1．