发布时间 : 星期一 文章(浙江专用)2018年高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 专题探究课二 高考中三角函数问题的更新完毕开始阅读2687b4b9b8f3f90f76c66137ee06eff9aef849a2
专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型
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π??1.(2017·湖州调研)函数f(x)＝3sin?2x＋?的部分图象如图所示. 6??(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； π??π
(2)求f(x)在区间?－，－?上最大值和最小值.
12??2解 (1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3. π??当y0＝3时，sin?2x0＋?＝1， 6??
ππ7π
由题干图可得2x0＋＝2π＋，解得x0＝.
626π?π?5π?π?(2)因为x∈?－，－?，所以2x＋∈?－，0?. 12?66??2?ππ
于是：当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
612πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.
623
2.(2017·郑州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝3
bsin A.
(1)求B；
1
(2)若cos A＝，求sin C的值.
3解 (1)在△ABC中， 由
＝， sin Asin Bab可得asin B＝bsin A， 又由asin 2B＝3bsin A，
得2asin Bcos B＝3bsin A＝3asin B， 又B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos B＝
3π，得B＝. 26
122
(2)由cos A＝，A∈(0，π)，得sin A＝，
33则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
?π?所以sin C＝sin?A＋?
6??
＝
3126＋1
sin A＋cos A＝. 226
π??2ωx3.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin?ωx＋?＋2sin(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的
6?2?相邻两对称轴间的距离为π. (1)求函数f(x)的解析式；
3
(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝，△ABC的面积
2为S＝63，a＝27，求b，c的值. 解 (1)f(x)＝＝
31
sin ωx＋cos ωx＋1－cos ωx 22
π?31?sin ωx－cos ωx＋1＝sin?ωx－?＋1.
6?22?
∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π， ∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.
?π?∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin?x－?＋1. 6??
3?π?1
(2)由f(A)＝，得sin?A－?＝.
6?22?π
又∵A∈(0，π)，∴A＝. 3
11π
∵S＝bcsin A＝63，∴bcsin ＝63，bc＝24，
223π222222
由余弦定理，得a＝(27)＝b＋c－2bccos ＝b＋c－24.
3∴b＋c＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.
4.(2016·济南名校联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋23cos(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间；
(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h(x)的图象，若h(x)为奇函数，求φ的最小值. 解 (1)f(x)＝sin ωx＋23cos
2
2
2
2
ωx＋1－3(ω＞0)的周期为π. 2
ωx＋1－3＝ 2
1＋cos ωxsin ωx＋23×＋1－3
2
π
＝sin ωx＋3cos ωx＋1＝2sin(ωx＋)＋1.
32π
又函数f(x)的周期为π，因此 ＝π，∴ω＝2.
ωπ??故f(x)＝2sin?2x＋?＋1. 3??
πππ
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
232得kπ－(k∈Z).
π??(2)由题意可知h(x)＝2sin?2（x＋φ）＋?，
3??又h(x)为奇函数，则2φ＋∴φ＝
π
＝kπ， 3
5ππ?5ππ?≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?1212?1212?
kπ
ππ
－(k∈Z).∵φ＞0，∴当k＝1时，φ取最小值. 263
5.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝ (2sin B，－3)，n＝(cos 2B，2cos－1)，且m∥n.
2(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值. 解 (1)∵m∥n，
2
B??∴2sin B?2cos－1?＝－3cos 2B，
2??
2
B∴sin 2B＝－3cos 2B， 即tan 2B＝－3. 又∵B为锐角，
2ππ
∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.
33π
(2)∵B＝，b＝2，
3
由余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得a＋c－ac－4＝0.
又a＋c≥2ac，代入上式，得ac≤4， 当且仅当a＝c＝2时等号成立.
2
2
2
2
2
2
2
13
故S△ABC＝acsin B＝ac≤3，
24当且仅当a＝c＝2时等号成立， 即S△ABC的最大值为3.
6.(2017·宁波模拟)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x，1)，
x∈R.
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值.
π??2
解 (1)f(x)＝2 cosx－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos?2x＋?，
3??
πππ
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝f(x)的单
363ππ??调递减区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z).
63??
π?π?ππ7ππ??(2)∵f(A)＝1＋2cos?2A＋?＝－1，∴cos?2A＋?＝－1，又＜2A＋＜，∴2A＋＝3?3?3333??π
π，即A＝.
3
∵a＝7，∴由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A＝(b＋c)－3bc＝7.① ∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线， ∴2sin B＝3sin C，由正弦定理得2b＝3c，② 由①②得b＝3，c＝2.
2
2
2
2