发布时间 : 星期一 文章《高中竞赛教程》教案：第13讲 奇偶分析（学生）更新完毕开始阅读26e847ae5a8102d277a22f2e
第13讲 奇偶分析法
把全体整数按被2除的余数分为两类：被2除余数为0整数的称为偶数，一般表示为2k(k为整数)，被2除余数为1整数的称为奇数，一般表示为2k+1(k为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.
奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质： 1、奇数不等于偶数；
2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的； 3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；[来源:www.shulihua.net]
4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4的倍数，偶数×整数=偶数； 5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性 6、奇数的平方被4除余1，偶数平方为4的倍数；
奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1与-1(或1与0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．
A类例题 例1 ⑴ 证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．
⑵ 至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．
例2设a1，a2，…，a64是1，2，…，63，64的任意一种排列．令
b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，…，b32=|a63－a64|； c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，…，c16=|b31－b32|； d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，…，d8=|c15－c16|；
………
这样一直作下去，最后得到一个整数x．求证：x为偶数．
情景再现
1．将某个17位数的数字顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．
证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．(1970年第四届全苏数学奥林匹克8年级试题) 2．若 a ，b，c 都是整数，且a与b 同为奇数或同为偶数，c为奇数， 求证：找不到整数n，使an2+bn+c=0． B类例题 - 1 -
例3有n×n(n＞3)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，先将表内n个两两既不同行又不同列的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表示成4k的形式，其中k∈Z)．(1989年全国数学联赛)
例4设P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)无整数根．(第3届加拿大数学奥林匹克)
例5在12，22，32，…，19892这1989个连续的完全平方数的每个数前都添“+”或“-”号，使其代数和为最小的非负数，并写出算式．(1989年第15届全俄数学奥林匹克)
情景再现 3．在国际象棋的棋盘上，放有8枚棋子，已知其中任意两枚不同行，也不同列．证明：黑格中的棋子数为偶数．
4．在整个平面上有一个无限大的方格棋盘，上面摆好了一些棋子，它们恰好组成一个3k?n的矩形．按下述规则进行游戏：每一枚棋子都可以越过(沿水平方向或竖直方向)相邻的棋子而放入这枚棋子的相邻的空格里，并把相邻的这枚棋子从棋盘上取走．证明：不论怎样走，棋盘上都不会只剩下1枚棋子．(1982波兰数学竞赛题)
222225．设a1，a2，a3，a4，a5和b是满足关系式a21+a2+a3+a4+a5＝b的整数，证明：所有这些数不可
能全是奇数．
6．设x1，x2，…，xn是一组数，它们之间每一个都取+1或-1，并且 x1x2x3x4+ x2x3x4x5+…+xn-3xn-2xn-1xn+xn-2xn-1xnx1+xn-1xnx1x2+xnx1x2x3=0． 求证：n是4的倍数．(第26届IMO预选题)
C类例题 例6设E={1，2，3，…，200}，G={a1，a2，…，a100}是E的真子集，且G具有下列两条性质：
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1）对于任何1≤i＜j≤100，恒有ai+aj≠201； 2）a1+a2+…+a100=10080．
试证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数的平方和为一定数．(1990年全国数学联赛)
例7 设有一个顶点都是格点的100边形，它的边都与x轴或y轴平行，且边长都是奇数． 求证：它的面积也是奇数．(1987年中国数学奥林匹克)
y A7A8
A5A6 A100A99A3A4
A1A2
B3B7B5B9xOB1B99
例8 能否把1，1，2，2，3，3，4，4，…1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请你证明你的结论．(1986年中国数学奥林匹克)
情景再现 7．在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上0，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字．接着进行同样的运算，如此继续．证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0．(1975年南斯拉夫数学竞赛)
8．设d1，d2，…，dk是正整数n的所有因数，这里，1=d1＜d2＜…＜dk＝n，k≥4，求所有满足222d21+d2+d3+d4=n的正整数n．(1989年巴尔干数学竞赛)
习题13
1．一天，某旅游者乘火车来到某个城市游玩，他玩了一天后于晚上回到来时的火车站，试证明：他总可以沿着他当天走过奇数次的街道回到火车站．
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2．将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数)，把相对的项点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格数目必是偶数．
3．在黑板上写有若干个0、1和2，现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字代替它们(用2代替0与1，用1代替0与2，用0代替1与2)．证明如果这种做法，最后在黑板上只留下一个数字，那么，留下的数字与操作顺序无关．(1975年第9届全苏数学奥林匹克)
4．在平面上画了一个由边长为1的正六边形组成的蜂窝形网格，如果沿网格线从一个网格点A用最短路程走到另一个网格点时共走的路程为100，试证：他走的全程的一半是走在同一个方向上．
5．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，则这个多项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积．(1963年北京市高中数学竞赛)
6．是否存在整数a，b，c，d，使得对所有的整数x，等式x4+2x2+2000x+30＝(x2+ax+b)(x2+cx+d)成立．
7．能否将1990×1990方格表中的每个小方格涂成黑色或白色，使得关于表的中心对称的方格涂有不同的颜色，并且任一行及任一列中黑格与白格都各占一半．(1990全苏第4届数学奥林匹克)
8．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些假币．已知每枚假币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币重量和恰等于真币的重量，现有带指针标明整克数的双盘天平，证明只要称一次就可辨别指定的硬币是否是假币．(1987年第13届全俄数学奥林匹克)
9．从集{0，1，2，…，14}中选出不同的数，填入图中的10个小圆圈中，使得由线段连结的两个数的差的绝对值均不相等，这可能吗？证明你的结论．(1991年第23届加拿大数学奥林匹克)
10．设正整数d不等于2、5、13，证明：在集合{2，5，13，d}中，可以找到两个不同元素的a，b，使ab-1不是完全平方数．（1986年第27届国际数学奥林匹克竞赛试题）
11．设P0，P1，P2，…，P1993=P0为xy平面上不同的点，具有下列性质： ⑴Pi的坐标均为整数，i=0，1，2，3，…，1992；
⑵在线段PiPi+1上没有其他的点，坐标均为整数，i=0，1，2，3，…，1992．
求证：对某个i，0≤i≤1992，在线段PiPi+1上有一个点Q(qx，qy)使2qx，2qy，均为奇整数．(1993年亚太地区数学奥林匹克)
12．设n≥2，a1，a2，…，an都是正整数，且ak≤k（1≤k≤n）．试证明：当且仅当a1+a2+…+an为偶数时，可适当选取“+”号与“-”号，使a1±a2±…±an=0．(1990年中国数学奥林匹克)
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