发布时间 : 星期五 文章高考数学一轮复习 第10章 概率 第3讲 几何概型学案更新完毕开始阅读274194396e175f0e7cd184254b35eefdc8d315a5
π1π1
∵∠OMA＝90°，∴S阴影＝－×1×1＝－.
4242π1－
S阴影4211
故所求的概率P＝＝＝－.
S⊙Mπ42π命题角度2 与线性规划交汇的问题
例 3 [2018·湖北联考]在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为( )
1363
A. B. C. D. 416194答案 D
??0≤x≤4，
?解析 如图所示，
?0≤y≤4?
表示的平面区域为正方形OBCD及其内部，x＋2y≤8(x，
1
4×4－×4×2
23
y∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P＝＝.故选D.
4×44
命题角度3 随机模拟估算
例 4 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为( )
A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32 答案 C
300－96
解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概
300
5
型的概率计算公式，可
得
S椭圆
＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32. S矩形
触类旁通
落在椭圆内的黄豆数椭圆的面积利用＝求解．
落在矩形内的黄豆数矩形的面积
考向
与体积有关的几何概型
例 5 有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
2答案
3
解析 圆柱的体积V柱＝πRh＝2π， 1432
半球的体积V半球＝×πR＝π.
233
1
∴圆柱内一点P到点O的距离小于等于1的概率为.∴点P到点O的距离大于1的概率
312为1－＝.
33
触类旁通
与体积有关的几何概型求法的关键点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
【变式训练2】 已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取1
一点P，则点P满足V三棱锥P－ABC 2 7答案 8 1111 解析 设三棱锥P－ABC的高为h.由V三棱锥P－ABC 23233 解得h<，即点P在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P满足V2113·S△ABC·3427 是P＝1－＝. 18S△ABC·33 考向 与角度有关的几何概型 三棱锥P－ABC2 1 三棱锥S－ABC的概率 例 6 [2017·鞍山模拟]过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD 解 在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，AD 6 67.5° 易知∠ACE＝67.5°，∴AD 90° 触类旁通 与角度有关的几何概型的求解方法 (1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为 构成事件A的区域角度 . 试验的全部结果所构成区域的角度 P(A)＝ (2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算． 【变式训练3】 如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率． 解 因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝3，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°. tan60° 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事30°2 件N发生．由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝. 75°5 核心规律 几何概型中的转化思想 (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可． (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型． AD 7 (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 满分策略 几何概型求解中的注意事项 (1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题． (2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果． (3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致. 板块三 启智培优·破译高考 数学思想系列11——转化与化归思想解决几何概型的应用问题 [2018·珠海模拟]某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 解题视点 先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率． 解析 设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示．则总事件所占的面积为(50－30)＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所225 212259 占的面积为×15×15＝，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝. 2240032 2 答案 9 32 答题启示 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x，y，将已知转化为x， y所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点?x，y?的相关约束条件，从而把时间这个长 度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解. 跟踪训练 8