发布时间 : 星期一 文章2015-2016年江苏省无锡市高三上学期期末数学试卷及答案解析更新完毕开始阅读28c8ab89b9f67c1cfad6195f312b3169a451ead4
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（14分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥． （1）求角B的大小；
（2）若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵=（sinB﹣sinC，sinC﹣sinA），=（sinB+sinC，sinA），且⊥
，
∴（sinB﹣sinC）?（sinB+sinC）+（sinC﹣sinA）?sinA=0， ∴b2=a2+c2﹣ac， ∴2cosB=1， ∴B=
；
，故A==2，
，
（2）∵⊥，∴△ABC是RT△，而B=由
=
=2R，得：
=解得：a=1，b=故S△ABC=?
，
．
?1=16．（14分）如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点． （1）若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC； （2）若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
【解答】证明：（1）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，
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∴BC⊥平面PAC，
∵PE∥CB，M是AE的中点，N是PA的中点， ∴MN∥PE，∴MN∥BC， ∴MN⊥平面PAC，
∵MN?平面CMN，∴平面CMN⊥平面PAC． （2）过A作AF∥BC，连结PF， ∵PE∥CB，AF∥BC，∴PE∥AF， ∴F、A、E、P共面，
∵MN∥平面ABC，MN?平面FAEP， 平面FAEP∩平面FABC=FA， ∴MN∥FA，
又FA∥BC，PE∥BC，∴MN∥PE， ∵M为AE中点，∴N是PA的中点．
17．（14分）在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地，要求P，Q，R三点分别在△ABC的三条边上，且要使△PQR的面积最小，现有两种设计方案：
方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上．请问应选用哪一种方案？并说明理由．
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【解答】解：方案﹣：直角顶点Q在斜边AB上，R，P分别在直角边AC，BC上，则P，Q，R，C四点共圆，且AB与圆相切时△PQR的面积最小，最小面积为
=
；
方案二：直角顶点Q在直角边BC上，R，P分别在直角边AC，斜边AB上，设QP=QR=l，∠QRC=α， ∴2lsinα+lcosα=10， ∴l=
∴最小面积为∵
＞10，
=
=10，
≥
，
∴应选用方案二．
18．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相
应的准线的距离为3，圆N的方程为（x﹣c）2+y2=a2+c2（c为半焦距），直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别为A，B． （1）求椭圆方程和直线方程； （2）试在圆N上求一点P，使
=2
．
【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，
从而b=，
+
=1；
∴椭圆的标准方程为
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圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5，圆心到直线的距离d=
=①
直线l：y=kx+m代入+
=1，整理可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴△=0，可得m2=3+4k2，② 由①②，k＞0，可得m=2，k=， ∴直线方程为y=
；
（2）由（1），可得A（﹣1，1.5），B（0，2），
设P（x，y），则x2+（y﹣2）2=8（x+1）2+8（y﹣1.5）2，∴7x2+7y2+16x﹣20y+22=0 与（x﹣1）2+y2=5联立，可得x=﹣1，y=1或x=﹣∴P（﹣1，1）或（﹣
，y=
）．
（a＞0）． ，y=， 19．（16分）已知函数f（x）=lnx+
（1）当a=2时，求出函数f（x）的单调区间； （2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， a=2时，f（x）=lnx+ f′（x）=﹣
=
令f′（x）=0，得x=e
①当0＜x＜e时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（0，e）上是单调递减的 ②当e＜x时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（e，+∞）上是单调递增的 ∴f（x）的递减区间是（0，e），单增区间是（e，+∞）． （2）原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立． 令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax． ∵g′（x）=lnx+1﹣a 令g′（x）=0，得x=ea﹣1
①0＜x＜ea﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减 ②ea﹣1＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
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