发布时间 : 星期二 文章山东省乐陵市第一中学2015届高三数学 第9周 精选精编导数专题更新完毕开始阅读28d1abca960590c69fc37676
1、已知函数
．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．
，使不等式f（x0）
解：由题得：
．
（Ⅰ）由已知，得
﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）
且，∴a2
（Ⅱ）当0＜a≤2时，∵
，∴，
∴当时，．又
，
∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函数．（5分）
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（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为
，
于是问题等价于：对任意的
a∈（1，2），不等式
恒成立．
记
，（1＜a＜2）
则
，
当m=0时，
2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，
由于a2﹣1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，
，∴g（a）在区间（1，
故必有m＞0，∴
．
若，可知g（a）在区间
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上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）
＞0恒成立矛盾，故，
这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴，即，
所以，实数m的取值范围为
2、已知函f（x）=ex﹣x （e为自然对数的底数）． （1）求f（x）的最小值；
．（14分）
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|}且M∩P≠求实
数a的取值范围；
（3）已知n∈N+，且Sn=∫n0f（x）dx，是否存在等差数列{an}和首项为f（I）公比大于0的等比数列{bn}，使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn？若存在，请求出数列{an}、{bn}的通项公式．若不存在，请说明理由． 解：（1）∵函数f（x）=ex﹣x，∴f′（x）=ex﹣1；由f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴函数f（x）的最小值为f（0）=1．
（2）∵M∩P≠，∴f（x）＞ax在区间[，1]有解，由f（x）＞ax，得ex﹣x＞ax，即a
＜在[，2]上有解；
令g（x）=，x∈[，2]，则g′（x）=，∴g（x）
在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
又g（）=2﹣1，g（2）=﹣1，且g（2）＞g（），∴g（x）的最大值为g（2）
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=﹣1，∴a＜﹣1．
（3）设存在公差为d的等差数列{an}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{bn}， 使a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn ∵
；且b1=f（1）=e﹣1，
∴
；∴a1=﹣，又n≥2时，an+bn=sn﹣sn﹣1=en
﹣1（e﹣1）﹣n+；
故n=2，3时，有
；
②﹣①×2得，q2﹣2q=e2﹣2e，解得q=e，或q=2﹣e（舍），故q=e，d=﹣1；
此时an=﹣+（n﹣1）（﹣1）=﹣n，
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