发布时间 : 星期三 文章高中数学排列组合经典题型全面总结版更新完毕开始阅读291fc049680203d8cf2f24bd
A.10 B.11 C.12 D.15
18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B.126 C.90 D.54
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C3?A3?18；若有1人从事司机工作，则方案有C3?C4?A3?108种，所以共有18+108=126种，故B正确
19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )
（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6 (2) 乙组中选出一名女生有C5211223123?225种选法;
11?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D
20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分
法的种数为
A.18 B.24 C.30 D.36
【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，而甲乙被分在同一个班的有A3种，所以种数是C4A3?A3?30
21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C322A2?6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男
233233生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此
时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。
解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A222A2=24种排法；
222A2?6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A2＝12种排法 第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。
此时共有6A2＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。
22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]
A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：C2121?C7?42，另一类是甲乙都去的选法有C22?C7=7，
2所以共有42+7=49，即选C项。
23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有
3222A3C3A4A2?332种，其中男生甲站两端的有
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12222A2A2C3A3A2?144，符合条件的排法故共有188
解析2：由题意有2A22211222?(C32?A2)?C2?C3?A2?(C32?A2)?A4?188,选B。
24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
1 4444C12C8C4解析因为将12个组分成4个组的分法有
A33A．
B．
C．
1 553 55D．
1 3144C33C9C8C4种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分
A223314424443在同一组的概率为C9C9C8C4A2C12C8C4A3=。
5525. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
（用数字作答）．
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有的站法种数是336种．
26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
123种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有C3A7种，因此共有不同A7254860 C． D． 9191914【解析】因为总的滔法C15,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，
A．
B．
1；2，1，1三类，故所求概率为
11211211C6?C5?C4?C6?C52?C4?C6?C5?C448 ?4C15918 9127. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
211C4?C2?C1【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有2A2;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，
其分法有
A33所以满足条件得分配的方案有
211C4?C2?C13?A?36 32A228. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4有C421?4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，
?6种方法；则不同的放球方法有10种，选A．
29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 （A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都
12C5?C4315?A?90种不同的分配方案，选B. 是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有?1532A230. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种
解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有C5乙、丙都不去，有
2434?A4=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有C5?A4=240种选法；③甲、
A54?120种选法，共有600种不同的选派方案．
331. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）． 解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成2?A3个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2?A2
2?12?4个五位数；③ 若末位
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数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2?(2?A2)=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？ [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，
3
共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C6
2×2×2×2＝160(种)．
33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．
44
C412C8C446
[解析] (1)C2CC＝13 860(种)；(2)＝5 775(种)； 12106
A33
44
C412C8C44
(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A3C4C4 3＝C12·8·4＝34 650(种)不同的分法．A33
34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A6A46·7种不同排法．
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(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A8种排法，乙有A8种排法，
其余有A88种排法，
11综上共有(A9A89＋A8A8·8)种排法．
方法二：无条件排列总数 甲在首，乙在末A8
??98
A1010－?甲在首，乙不在末A9－A8
8??甲不在首，乙在末A99－A8
8
98
甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A9＋A8)种排法．
3(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A3种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一
A1010定的排法有3种．
A3
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条1
件的有A10种排法．
21035. 已知m,n是正整数，（1） 试求
f(x)?(1?x)m?(1?x)n的展开式中x的系数为7，
f(x)中的x2的系数的最小值
f(x)的x2的系数为最小的m,n，求出此时x3的系数
（3） 利用上述结果，求f(0.003)的近似值（精确到0.01）
11解：根据题意得：Cm?Cn?7，即m?n?7 （1）
（2） 对于使
m(m?1)n(n?1)m2?n2?m?n??x的系数为C?C? 22222m2n将(1)变形为n?7?m代入上式得：x的系数为m故当m（1） （2）
22735?7m?21?(m?)2?
24x2的系数的最小值为9 ?3或4时，33?C4?5 x3的系数为为C3当m?3,n?4或m?4,n?3时，f(0.003)?2.02
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排列与组合习题
1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 [解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有25×2＝50，故选B.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种
B．48种 C．72种
D．96种 D．70
C36种不同的分法；两组各3人共有2＝10种不同的分法，所以乘车方法数为
A2
C26＝15
2
[解]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A4＝72种排法，故选C.
3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个
B．9个 C．18个
D．36个
[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即
21231,1232,1233，而每种选择有A22×C3＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
1 [解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC8－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种
B．36种 C．28种
D．25种
[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法． 6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A．24种
B．36种 C．38种
D．108种
[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员
12分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C3A2种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一
组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数
21原理共有2C13A2C3＝36(种)．
7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33
B．34 C．35
D．36
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C1A32·3＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的
31有C1A32·3＋A3＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C3＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋
3＝33个，故选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72
B．96 C．108
D．144
223[解析] 分两类：若1与3相邻，有A2C1A32·3A2A3＝72(个)，若1与3不相邻有A3·3＝36(个)，故共有72＋36＝108个．
9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种
B．60种 C．120种
D．210种
[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为
2C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排
方法C1A26·5＝120种，故选C.
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
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