高中数学排列组合经典题型全面总结版 联系客服

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A.10 B.11 C.12 D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54

【解析】分类讨论:若有2人从事司机工作,则方案有C3?A3?18;若有1人从事司机工作,则方案有C3?C4?A3?108种,所以共有18+108=126种,故B正确

19. 甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6 (2) 乙组中选出一名女生有C5211223123?225种选法;

11?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分

法的种数为

A.18 B.24 C.30 D.36

【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4,顺序有A3种,而甲乙被分在同一个班的有A3种,所以种数是C4A3?A3?30

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C322A2?6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男

233233生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此

时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12×4=48种不同排法。

解法二;同解法一,从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C3男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:

第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在中间,共有6A222A2=24种排法;

222A2?6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名

第二类:“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一种排法,此时共有6A2=12种排法 第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

此时共有6A2=12种排法

三类之和为24+12+12=48种。

22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]

A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有:C2121?C7?42,另一类是甲乙都去的选法有C22?C7=7,

2所以共有42+7=49,即选C项。

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

解析:6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有

3222A3C3A4A2?332种,其中男生甲站两端的有

17

12222A2A2C3A3A2?144,符合条件的排法故共有188

解析2:由题意有2A22211222?(C32?A2)?C2?C3?A2?(C32?A2)?A4?188,选B。

24. 12个篮球队中有3个强队,将这12个队任意分成3个组(每组4个队),则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )

1 4444C12C8C4解析因为将12个组分成4个组的分法有

A33A.

B.

C.

1 553 55D.

1 3144C33C9C8C4种,而3个强队恰好被分在同一组分法有,故个强队恰好被分

A223314424443在同一组的概率为C9C9C8C4A2C12C8C4A3=。

5525. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是

(用数字作答).

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人,则有的站法种数是336种.

26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个,花生馅汤圆5个,豆沙馅汤圆4个,这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆,则每种汤圆都至少取到1个的概率为( )

123种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有C3A7种,因此共有不同A7254860 C. D. 9191914【解析】因为总的滔法C15,而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2;1,2,

A.

B.

1;2,1,1三类,故所求概率为

11211211C6?C5?C4?C6?C52?C4?C6?C5?C448 ?4C15918 9127. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答).

211C4?C2?C1【解析】分两步完成:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有2A2;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,

其分法有

A33所以满足条件得分配的方案有

211C4?C2?C13?A?36 32A228. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )

A.10种 B.20种 C.36种 D.52种

解析:将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有C4有C421?4种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,

?6种方法;则不同的放球方法有10种,选A.

29. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种

解析:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都

12C5?C4315?A?90种不同的分配方案,选B. 是2人,有种方法,再将3组分到3个班,共有?1532A230. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

解析:某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有C5乙、丙都不去,有

2434?A4=240种选法;②甲、丙同不去,乙去,有C5?A4=240种选法;③甲、

A54?120种选法,共有600种不同的选派方案.

331. 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答). 解析:可以分情况讨论:① 若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成2?A3个五位数;② 若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有2?A2

2?12?4个五位数;③ 若末位

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数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有2?(2?A2)=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。

32.有一排8个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有3个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上,

3

共有C36种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种数共有C6

2×2×2×2=160(种).

33.按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法?

(1)各组人数分别为2,4,6个;(2)平均分成3个小组;(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间.

44

C412C8C446

[解析] (1)C2CC=13 860(种);(2)=5 775(种); 12106

A33

44

C412C8C44

(3)分两步:第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有·A3C4C4 3=C12·8·4=34 650(种)不同的分法.A33

34.6男4女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法?(2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法?

(3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法?(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?

[解析] (1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A6A46·7种不同排法.

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(2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有A99种排法,若甲不在末位,则甲有A8种排法,乙有A8种排法,

其余有A88种排法,

11综上共有(A9A89+A8A8·8)种排法.

方法二:无条件排列总数 甲在首,乙在末A8

??98

A1010-?甲在首,乙不在末A9-A8

8??甲不在首,乙在末A99-A8

8

98

甲不在首乙不在末,共有(A1010-2A9+A8)种排法.

3(3)10人的所有排列方法有A1010种,其中甲、乙、丙的排序有A3种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一

A1010定的排法有3种.

A3

(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等,而10人排列数恰好是这二者之和,因此满足条1

件的有A10种排法.

21035. 已知m,n是正整数,(1) 试求

f(x)?(1?x)m?(1?x)n的展开式中x的系数为7,

f(x)中的x2的系数的最小值

f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数

(3) 利用上述结果,求f(0.003)的近似值(精确到0.01)

11解:根据题意得:Cm?Cn?7,即m?n?7 (1)

(2) 对于使

m(m?1)n(n?1)m2?n2?m?n??x的系数为C?C? 22222m2n将(1)变形为n?7?m代入上式得:x的系数为m故当m(1) (2)

22735?7m?21?(m?)2?

24x2的系数的最小值为9 ?3或4时,33?C4?5 x3的系数为为C3当m?3,n?4或m?4,n?3时,f(0.003)?2.02

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排列与组合习题

1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( )

A.40 B.50 C.60 [解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有25×2=50,故选B.

2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A.36种

B.48种 C.72种

D.96种 D.70

C36种不同的分法;两组各3人共有2=10种不同的分法,所以乘车方法数为

A2

C26=15

2

[解]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A4=72种排法,故选C.

3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )

A.6个

B.9个 C.18个

D.36个

[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即

21231,1232,1233,而每种选择有A22×C3=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.

4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )

A.2人或3人 B.3人或4人 C.3人 D.4人

1 [解析] 设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2nC8-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.

5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )

A.45种

B.36种 C.28种

D.25种

[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法. 6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )

A.24种

B.36种 C.38种

D.108种

[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员

12分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C3A2种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一

组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数

21原理共有2C13A2C3=36(种).

7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )

A.33

B.34 C.35

D.36

[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C1A32·3=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的

31有C1A32·3+A3=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C3=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+

3=33个,故选A.

8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )

A.72

B.96 C.108

D.144

223[解析] 分两类:若1与3相邻,有A2C1A32·3A2A3=72(个),若1与3不相邻有A3·3=36(个),故共有72+36=108个.

9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )

A.50种

B.60种 C.120种

D.210种

[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为

2C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A5种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排

方法C1A26·5=120种,故选C.

10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)

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