发布时间 : 星期四 文章江苏省南京市2018-2019学年高三第三次模拟考试数学试题更新完毕开始阅读293616e6793e0912a21614791711cc7931b778f0
所以PD∥
OM， ……………………………………9分
所
以
PMPC
＝
DO
． ……………………………………11分 DC
因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O， 所以O为?ABC重心，所以所
以
DO1＝， DC3PM
＝
13
PC
＝
2
． …………………………………14分 3
解法二
如图2，取BE的中点N，连接PN． 因为D，N分别为AB，BE的中点， 所以DN∥AE．
又DN?平面AEM，AE?平面AEM， 所以DN∥平面AEM．
又因为PD∥平面AEM，DN?平面PDN，PD?平面PDN，DN∩PD＝D， 所以平面PDN∥平面AEM． ………………………………9分 又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，
PMNE
所以ME∥PN，所以＝． ………………………………
PCNC
11分
因为E，N分别为BC，BE的中点，
NE112
所以＝，所以PM＝PC＝． ………………………………
NC333
14分
17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC．
π在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，
3所
以
∠CBA
＝
π6
，
AB
＝
4
，
BC
＝
A D B (图2)
E C M P N 23． ………………………………2分
π
因为BC为直径，所以∠BDC＝，
2
所以BD＝BC cosθ＝23
cosθ． ………………………………4分 ππ
（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝23cosθ，
63
DFBFBD
所以＝＝，
ππsin∠BFDsin(θ＋)sin(－θ)
62所
以
DF
＝
4cosθsin(
π
6
＋
θ)， ………………………………6分
且
BF
＝
4cos
2
θ，所以DE＝AF=4－4cos
2
θ， ………………………………8分
π
所以DE＋DF＝4－4cos2θ＋4 cosθsin(＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3
6
＝
2
sin(2θ
－
π6
)
＋
3． …………………………………12分
ππππ5π因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，
32266
πππ所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合． ……………
623
13分
答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………
14分
18．(本小题满分16分)
c331
解（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝a2－c2＝a， …………………………………
a2222分
x2y2
所以椭圆C的方程为2＋2＝1．
4bb
83169
因为椭圆C经过点P(，)，所以＝1， 2＋5525b25b2x22所以b＝1，所以椭圆C的方程为＋y＝1． …………………………………
4
2
4分
（2）解法一
设N(n，0)，
2()2
22524
当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，
55425则
224→→24
NA?NB＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－
55525
4
， …………………………………6分 5
→→当l经过左?右顶点时，NA?NB＝(－2－n)(2－n)＝n2－4． 令
n2
－
45
n
－
45
＝
n2
－
4
，
得
n
＝
4． ……………………………………8分
→→2
下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有NA?NB＝12．
5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x22
＋y＝1，416216222由消去y，得(4k＋1)x－kx＋k－4＝0， 2525y＝k(x－)，
5
???
所以
x1
＋
x2
＝
162k54k2＋1
，
x1x2
＝
162
k－425
， …………………………………10分
4k2＋1
→→所以NA?NB＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2
22
＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)
55＝(k2＋1)x1x2－(4＋
k2 …………………………………12分
162162
k－4k2522542
＝(k＋1)2－(4＋k)2＋16＋k2
54k＋1254k＋1161624
(k2＋1)(k2－4)－k2(4＋k2)＋k2(4k2＋1)
255525
＝＋16
4k2＋1
－16k2－4＝＋16＝12．
4k2＋1
→→所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得NA?NB为定值． …………………………………16分
224
k)(x1＋x2)＋16＋525
解法二
2
设N(n，0)，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－)，
5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x22
＋y＝1，416216222由消去y，得(4k＋1)x－kx＋k－4＝0， 2525y＝k(x－)，
5
???
162162
kk－4525
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2， …………………………………
4k＋14k＋16分
→→22
所以NA?NB＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(x1－n)(x2－n)＋k2(x1－)(x2－)
55
24
＝(k2＋1)x1x2－(n＋k2)(x1＋x2)＋n2＋k2
525
(k2
162
k－425
4k2＋1
25
k2)
162
k54k2＋1
n2
425
＝＋1)－(n＋＋＋
k2 ……………………………………8分
161624
(k2＋1)(k2－4)－k2(n＋k2)＋k2(4k2＋1)
255525
＝＋n2 24k＋1
1616
(－n－)k2－4
554k2＋1
＝＋
n2． ……………………………………12分
16161616(－n－)k2－4(－n－)k2－4
5555→→若NA?NB为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数， 224k＋14k＋11616
则(－n－)k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，
55??－16n－16＝4λ，
5所以?5所以n＝4，λ＝－4，
??－4＝λ，
→→此时NA?NB＝12． ……………………………………14分
2
()2
22524
当直线l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，
55425