发布时间 : 星期三 文章二次函数中的三角形问题更新完毕开始阅读2941f7844028915f804dc2c7
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2013-2014学年度成都戴氏教育中考专题班
∵S△ABP=1S△ABC，且两三角形都以AB为底边， 21， 2二次函数中的三角形练习
命题人：彭勇军
∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的∵C（1，4）到直线AB的距离d=1?4?3?2， 2|a?a2?2a?3?3|2……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○…………………… ∴P到直线AB的距离d=2?
2， 四、解答题
即|-a2
+3a|=1，
1．抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B. 整理得：a2-3a-1=0或a2
-3a+1=0， (1)求此抛物线的解析式；
3?133?(2)抛物线上是否存在点P,使S1解得：a=?ABP?2或a=52 2S?ABC,若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 当a=3?132
22?6132时，-a+2a+3=-4?3?13?3??1311?13【答案】(1)y=-x2
+2x+3；(2) P坐标为（3?132?2?2； 2,1?133?131?133?55?52）、（2,2）；（2,2）；
3?132
22?613（3?5当a=2时，-a+2a+3=-4?3?13?3?1311?132?2?2； 2,5?552）． 【解析】
当a=3?5试题分析：（1）设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2
+4，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析2时，-a2
+2a+3=-14?654?3?5?3?5?52；
式；
（2）存在，设出P（a，-a2
+2a+3），直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直当a=3?52
14?655?55线AB解析式，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB2时，-a+2a+3=-4?3?5?3?2.
的距离为P到直线AB距离的2倍，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．
则满足题意的P坐标为（3?133?5试题解析：（1）设抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2
+4， 2,1?132）、（3?131?135?52,2）；（2,2）；
将A（3，0）代入得：0=4a+4，即a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）2+4=-x2
+2x+3； （3?5（2）存在这样的P点，
2,5?552）． 设P（a，-a2
+2a+3），
考点: 1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．
设直线AB解析式为y=kx+b， 将A（3，0），B（0，3）代入得：
2．已知，二次函数y=ax2+bx的图像经过点A(?5,0)和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．??3k?b＝0， ?b?3解得：??k＝-1?b?3，
∴直线AB解析式为y=-x+3，
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y B 由题意，得125m?m?4， 解得m1?3（不合题意，舍去），m2??8． 661 A -1 O 1 -1 x ∴C点的坐标为（-8，4）， BC=11， AB=45 ． ∵∠ABC=∠BAP， ①如果△ABC∽△BAP，那么
ABAB?， BCAP（1）求点B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
∴AP=11，点P的坐标为（6，0）．m]
………线…………○………… （3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图像的另一个交点为C，联结AC，如果点P在x轴上，②如果△ABC∽△PAB，那么AB且△ABC和△PABBC?AP相似，求点P的坐标．
AB， 【答案】(1)点B的坐标是（3，4）,(2)二次函数的解析式是y?126x?56x ∴AP=8011，点P的坐标为（2511，0）． (3)点P的坐标为（6，0）或（25，0）或（2511，0）． 综上所述，点P的坐标为（611，0）． 【解析】 考点：待定系数法求二次函数解析式．
试题分析：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据余切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）； 3．如图，已知抛物线y??14x2?bx?4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式；
（8，0）.
（3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=45，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标． y试题解析： 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D 在Rt△ADB中，∠ADB=90o，
Ccot∠BAO=ADBD=2．
设BD=x，AD=2x，由题意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5． 在Rt△ODB中，OD2
+BD2
=OB2
，∴?2x?5?2?x2?52，
AOBx解得x1?4，x2?0（不合题意，舍去）． ∴BD=4，OD=3，∴点B的坐标是（3，4）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）由题意，得??25a?5b?0,??a?1,（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
?9a?3b?4．，解这个方程组，得??6
?（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
?b?5?6．（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
∴二次函数的解析式是y?16x2?56x 【答案】（1）抛物线的解析式为y=?1（3）∵直线BC平行于x轴，∴C点的纵坐标为4，设4x2+32x+4，对称轴为直线x=3；
C点的坐标为（m，4）．
（2）△AOC∽△COB．理由见解析；
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……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………
（3）4；
（4）Q1（3，4+11），Q2（3，4-11），Q3(3，0).
【解析】 试题分析：
（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；
?8k?b?0则?，
b?4?1?k???解得?2，
??b?4∴直线BC的解析式为y=?∵MN∥y轴， 1x+4， 2……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴∴MN=?123的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可． 4x+2x+4-（?12x+4），
试题解析：
（1）∵点B（8，0）在抛物线y=?1=?14x2+312x+4+2x-4，
4x2
+bx+4上， =?1x2
+2x，∴?14 4×64+8b+4=0， 13=?解得b=4（x-4）2
+4， 2， ∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4； 1（4）由勾股定理得，AC=22?42∴抛物线的解析式为y=??25， 4x2+32x+4，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3， 3①AC=CQ时，DQ=CQ2?CD2??25?2?32?11，
对称轴为直线x=2?3；
2?(?14)点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+11， （2）△AOC∽△COB． 此时点Q1（3，4+11），
理由如下：令y=0，则?14x2+32x+4=0，
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-11， 即x2
-6x-16=0，
解得x此时点Q2（3，4-11），
1=-2，x2=8，
∴点A的坐标为（-2，0）， ②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5， 令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4）， CQ=32?42?5， ∴OA=2，OB=8，OC=4， ∴AQ=CQ，
此时，点Q3（3，0），
∵OCOA?OBOC=2，∠AOC=∠COB=90°， 综上所述，点Q的坐标为（3，4+11）或（3，4-11）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．∴△AOC∽△COB；
考点：二次函数综合题．
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
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4．如图,已知抛物线y??32x?bx?c与坐标轴交于A，B，C三点,点A的横坐标为?1,过点C(0，3)的直49??b?解得?4,
??c?3因此b=线y??3x?3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,PH?OB于点H．若PB?5t,且4ty0?t?1．
9,c=3; 4329x+ x+3=0, 44（2）令抛物线的解析式中y=0,则有﹣C解得x=﹣1,x=4; ………线…………○………… P∴B（4,0）,OB=4, 因此BC=5,
AOQHBx在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,
∴sin∠CBO=35,cos∠CBO=4（1）求b，c的值
5, （2）求出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）： 在直角三角形BHP中,BP=5t,
因此PH=3t,BH=4t; （3）依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形？
∴OH=OB﹣BH=4﹣4t, 因此P（4﹣4t,3t）． 【答案】(1)b=9,c=3; 令直线的解析式中y=0,则有0=﹣344tx+3,x=4t, (2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）; ∴Q（4t,0）;
（3）存在t的值,有以下三种情况 (3)当t=13或49或3257时,△PQB为等腰三角形． ①如图1,当PQ=PB时, ∵PH⊥OB,则QH=HB, 【解析】 ∴4﹣4t﹣4t=4t, 试题分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值．
（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠∴t=1CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标．Q点的坐标,可直接由直线CQ的3, 解析式求得．
②当PB=QB得4﹣4t=5t, （3）本题要分情况讨论： 4①PQ=PB,此时BH=QH=1∴t=BQ,在（2）中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得9, 2,据此可求出t的③当PQ=QB时,在Rt△PHQ中有QH2
+PH2
=PQ2
,
值．
∴（8t﹣4）2+（3t）2=（4﹣4t）2
,
②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值．
∴57t2
﹣32t=0, ③PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值． ∴t=32试题解析：（1）已知抛物线过A（﹣1,0）、C（0,3）,则有：
57,t=0（舍去）, ?又∵0＜t＜1, ???3?b?c?0, ?4?c?3∴当t=13或49或3257时,△PQB为等腰三角形． 第7页 共14页 ◎ 第8页 共14页
……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………