发布时间 : 星期一 文章2011年湖南省益阳市中考数学试卷解析更新完毕开始阅读297a9a96fd4ffe4733687e21af45b307e871f9cb
..................4分 （3）根据高级为3人，所以高级的百分比为：根据初级为4人，所以初级的百分比为：
100%=25%，
×100%≈33.3%，
∴高级：25%，初级：33.3%； ..................6分
（4）班主任老师是女老师的概率是
． ..................8分
【点评】本题的主要工作就是将统计表里的信息表示在条形统计图和扇形统计图中，整体难度不大，考生在统计各类的数值时仔细，本题的主要两个独立的知识点是众数的概念及求法，以及求一个事件概率的方法，需要考生重点掌握．
18．（8分）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）． （参考数据：sin67.4°≈
，cos67.4°≈
，tan67.4°≈
）
【考点】矩形的性质与判定M332；勾股定理M32A；解直角三角形M32D；锐角三角函数M32B． 【难度】容易题．
【分析】本题中拉线的长度包括CD、DE两端的和，要对两端的长度分别进行求解，首先做DF垂直于AE，构造直角三角形DEF，在这个三角形内求DE的长度，CD的长度在直角三角形BCD中利用锐角三角函数值进行求解． 【解答】解：在Rt△DBC中，sin∠DCB=
，
第9页（共14页） 房新乐 18920048699
∴CD==6.5（m）． ..................2分
作DF⊥AE于F，则四边形ABDF为矩形，
∴DF=AB=8，AF=BD=6， ..................4分 ∴EF=AE﹣AF=6， 在Rt△EFD中，ED=
=10（m）． ..................6分
∴L=10+6.5=16.5（m） ..................8分
【点评】此题的解答需要借助两个直角三角形，对拉线的两段CD、DE分别进行求解，那么考生就要熟练掌握在直角三角形中求解一条边边长的方法，一种是勾股定理，另一种是借助锐角三角函数，考生要根据题干给出的条件进行选择性的应用．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元． （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式； （3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？
【考点】二元一次方程组的应用M12B；解二元一次方程组M12A；一次函数的应用M143；求一次函数的关系式M142；分段函数M139；函数自变量的取值范围M138． 【难度】中等题．
【分析】（1）本题题干给出了两种情况下的用水量及相应的费用，那么通过设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元列出方程组，求解此方程组即可，此小问较简单； （2）因为每吨水的价格与用水的总量有关，所以本小问要求的函数解析式是一个分段函数，就需要根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围，此小问难度中等； （3）本小问中小英家的用水量超过了14吨，则需要运用分段函数第二段的函数解析式进行求解，此小问较简单．
【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．
..................2分
解得： ..................3分
答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．
第10页（共14页） 房新乐 18920048699
（2）∵当0≤x≤14时，y=x； .................4分 当x＞14时，y=14+（x﹣14）×2.5=2.5x﹣21， ................5分 ∴所求函数关系式为：y=
.................7分
（3）∵x=24＞14，
∴把x=24代入y=2.5x﹣21，得：y=2.5×24﹣21=39（元）．
答：小英家三月份应交水费39元． ................10分 【点评】本题的关键是考生能够弄清水费的收费标准，考生要认识到水费与用水量的函数是一个分段函数，所以考生应注意自变量的取值范围，考生要能够根据题干中给出的两种情况下的用水及费用列出二元一次方程组，这是正确解答本题的基础．
20．（10分）如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由．
【考点】二次函数的应用M164；不同位置的点的坐标的特征M135；求二次函数的关系式M163；二次函数的图象、性质M161；函数图像的交点问题M133；两点之间的距离M137；相似三角形性质与判定M32E． 【难度】中等题．
【分析】（1）本小问是对二次函数解析式的考察，因为抛物线关于y轴对称，顶点P（0，1），则可设抛物线的解析式为y=ax+1，根据抛物线经过A（1，0），可得出二次函数解析式，由P与P′的关系得出点P′的坐标，从而得出B点坐标，再利用△CP′B∽△COA，得CA/CB=OA/BP′，此小问难度中等；
（2）本小问的具体解题思路与（1）相同，通过设抛物线的解析式y=ax+m（a≠0）及抛物
2
线经过点A（1，0），得出y=﹣mx+m，由B点的纵坐标与点P′的纵坐标相等可用m表示出B点的坐标，再利用△CP′B∽△COA，得CA/CB=OA/BP′，此小问难度中等． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+1（a≠0）， ∵抛物线经过A（1，0）， ∴0=a+1，a=﹣1，
∴y=﹣x+1． .................2分 ∵P′、P关于x轴对称，且P（0，1），
第11页（共14页） 房新乐 18920048699
2
2
2
2
∴P′点的坐标为（0，﹣1）， .................3分 ∵P′B∥x轴，
∴B点的纵坐标为﹣1， 由﹣1=﹣x+1， 解得x=±，
∴， .................4分 ∴P'B=． .................5分 ∵OA∥P'B，
∴△CP'B∽△COA， ∴
（2）设抛物线的解析式为y=ax+m（a≠0）， ∵抛物线经过A（1，0）， ∴0=a+m，a=﹣m，
∴y=﹣mx+m． .................7分 ∵P′B∥x轴，
∴B点的纵坐标为﹣m，当y=﹣m时，﹣mx+m=﹣m，
2
∴m（x﹣2）=0， ∵m＞0， ∴x﹣2=0， ∴x=±， ∴∴P'B=
， .................8分 ，
．
． .................10分
2
2
2
2
2
． .................6分
同（1）得
∴m为任意正实数时，
【点评】本题是对二次函数及几何的综合应用，考生在求解CA与CB比值时要利用相似三角形的判定及应用进行求解，得出CA/CB=OA/BP′，通过解二次函数关系式，利用点的位置特征求出抛物线上点的坐标，进而可得到两点间的距离，继而得出结论．
六、解答题（本题满分12分） 21．（12分）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1． （1）证明：△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长．
第12页（共14页） 房新乐 18920048699