发布时间 : 星期日 文章课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理(普通高中)更新完毕开始阅读29cc3fa4905f804d2b160b4e767f5acfa1c783ca
BD
5．已知△ABC中，AC＝4，BC＝27，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值CD为________．
解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即28＝1628＋36－1627＋AB－4AB，解得AB＝6(AB＝－2舍去)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos
72×27×6
2
BD2712712727
∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝27－＝，所以CD＝6.
7777
答案：6
6．(2018·贵州适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝4，bsin A＝3.
(1)求tan B及边长a的值；
(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长． 解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3， bsin Asin Bsin A3
两式相除，有＝＝tan B＝，
acos Bsin Acos B4由sin2B＋cos2B＝1，
sin B3
＝， cos B4
4
得cos B＝，又因为acos B＝4，所以a＝5.
53
(2)由(1)知，sin B＝，
5
113
由S＝acsin B＝×5×c＝9，得c＝6.
225
4
由b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋36－2×5×6×＝13，
5得b＝13.
故△ABC的周长为11＋13. 7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 2π解：(1)由已知可得tan A＝－3，所以A＝. 3在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos
2π， 3
即c2＋2c－24＝0. 解得c＝4(负值舍去)． π
(2)由题设可得∠CAD＝，
2所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝
2πππ－＝. 326
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为 1πAB·AD·sin 26
＝1.
1
AC·AD2
12π
又△ABC的面积为×4×2×sin＝23，
23所以△ABD的面积为3. C级——重难题目自主选做
(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长； (2)求△CBD的面积．
11
解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2×5×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝
22π255
0，?，所以cos∠ABD＝. ，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈??2?55
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝5. π
(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，
2所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝又∠BCD＝2∠ABD，
4
所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，
5
ππ
－∠ABD?－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD， ∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－??2?2所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.
5. 5
在△CBD中，由正弦定理
CD＝，
sin∠BCDsin∠CBD5×555＝， 445
BD
得CD＝
BD·sin∠CBD
＝
sin∠BCD
115545
所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.
224458