发布时间 : 星期一 文章通信原理辅导及习题解析更新完毕开始阅读29f04431f78a6529647d5340
3-14 不相关、统计独立、正交的含义各是什么？它们之间的关系如
何？
【问题解答】如果两个随机变量的协方差函数函数为零，则称它们不相关。如果两个随机变量的联合概率密度等于它们各自概率密度的乘积，则称它们统计独立。如果两个随机变量的互相关函数为零，则称它们正交。
当两个随机过程统计独立时，它们必定是不相关的，但不相关的两个随机过程不一定统计独立。当两个随机过程正交时，它们必定是不相关的，但不相关的两个随机过程不一定正交。当两个随机过程统计独立时，它们必定是正交的，但正交的两个随机过程不一定统计独立。
习题分析与解答参考
3-1 设X是a?0,??1的高斯随机变量，试确定随机变量Y?cX?d的概率密度函数f(y)，其中c,d均为常数。
【问题解答】由X是a?0,??1的高斯随机变量，经过线性变换，可得随机变量Y?cX?d为高斯随机变量。
E(Y)?E[cX?d]?cE[X]?d?ca?d?d
E[Y2]?E[c2X2?2cdX?d2]?c2E[X2]?2cdE[X]?d2?c2(a2??2)?2cda?d2?c2?d2D[Y]?E[Y2]?E2[Y]?c2
所以，随机变量Y的概率密度函数f(y)为： fY(y)?12?ce?(y?d)22c2
3-2 设一个随机过程?(t)可表示成 ?(t)?2cos(2?t??)，式中，?是一
个离散随机变量，且P(??0)?1/2,P(???/2)?1/2,试求E?(1)及R?(0,1)。 【问题解答】因为?(t)?2cos(2?t??)中，?是一个离散随机变量，所
以
将
离
散
值
代
入
，
可
求
得
E[?(t)]?P(??0)?2cos(2?t?0)?P(???/2)?2cos(2?t??/2)
将t?1代入上式，可求得 E?(1)??2cos(2?)??2cos(2??)?1
21212?随机过程
?(t)的自相关函数为：
R?(t1,t2)?E[?(t1)?(t2)]?P(??0)?2cos(2?t1)?2cos(2?t2)?P(???2)?2cos(2?t1??2)?2cos(2?t2??2)将t1?0,t2?1代入可求得 R?(0,1)??4cos20??4cos2【知识储备】离散随机变量统计特性分析。
1212?2?2。
3-3 设随机过程Y(t)?X1cos?0t?X2sin?0t，若X1与X2是彼此独立且均值为0、方差为?2的高斯随机过程，试求： （1）E[Y(t)]、E[Y2(t)]；
（2）Y(t)的一维分布密度函数f(y)； （3）R(t1,t2)和B(t1,t2)。 【问题解答】
E[Y(t)]?E[X1cos?0t?X2sin?0t]?E[X1]cos?0t?E[X2]sin?0t?0
2E[Y2(t)]?E[X12cos2?0t?2X1X2cos?0t?sin?0t?X2sin2?0t]
2?E[X12]cos2?0t?2E[X1X2]cos?0t?sin?0t?E[X2]sin2?0t??cos?0t?2E[X1]E[X2]cos?0t?sin?0t??sin?0t??22222
因为 E[Y(t)]?0,D[Y(t)]??2, 所以Y(t)的一维分布密度函数f(y) 为： f(y)?12??e?y22?2
R(t1,t2)?E[Y(t1)Y(t2)]?E[(X1cos?0t1?X2sin?0t1)(X1cos?0t2?X2sin?0t2)]2?E[X12cos?0t1?cos?0t2?X1X2cos?0t1?sin?0t2?X2X1sin?0t1?cos?0t1?X2sin?0t1?sin?0t2]??2cos?0t1?cos?0t2??2sin?0t1?sin?0t2??2cos?0(t1?t2)B(t1,t2)?E??Y(t1)?EY(t1)??Y(t2)?EY(t2)???E{[Y(t1)?0][Y(t2)?0]}?E[Y(t1)Y(t2)]?R(t1,t2)??2cos?0(t1?t2)
3-4 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为aX和aY,自相关函数分别为Rx(?)和Ry(?)。 （1）试求乘积z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数。 （2）试求之和Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数。 【问题解答】（1）代入自相关函数的定义式，可求得：
Rz(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?Rx(?)Ry(t)
（2）代入自相关函数的定义式，可求得：
RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E{[X(t)?Y(t)][X(t??)?Y(t??)]}?E[X(t)X(t??)?X(t)Y(t??)?Y(t)X(t??)?Y(t)Y(t??)]?Rx(?)?axay?ayax?Ry(?)?Rx(?)?2axay?Ry(?)
3-5 已知随机过程z(t)?m(t)cos(?ct??)，其中，m(t)是广义平稳过程，且其自相关函数为
?1???1???0?Rm(?)??1??0???1
?0其他?随机变量?在(0,2?)上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。 （1） 证明z(t)是广义平稳的；
（2） 试画出自相关函数Rz(?)的波形； （3） 试求功率谱密度Pz(f)及功率S。
【问题解答】（1）证明：由已知条件，m(t)是广义平稳过程，可知
E?m(t)?为常数。又由已知条件可知，随机变量?与m(t)彼此统计独立，
且?服从均匀分布，可得：
E?z(t)??E?m(t)cos(?0t??)??E?m(t)?E?cos(?0t??)??E?m(t)??2?01cos(?0t??)?02?
Rz(?)?E[z(t)z(t??)]?E[m(t)cos(?0t??)m(t??)cos(?0t??0???)]?E[m(t)m(t??)]E[cos(?0t??)cos(?0t??0???)]11?Rm(?)E[cos(2?0t??0??2?)?cos?0?]221?Rm(?)?cos?0?2
由于z(t)的均值与t无关，为常数，且自相关函数只与时间间隔??t2?t1有关，由此可证明z(t)是广义平稳的。
（2）代入Rm(?)的表达式，可得自相关函数Rz(?)的表达式为：
?1?2cos?0?(1??)??1Rz(?)??cos?0?(1??)?2?0其他???1???00???1
（3） 因为平稳过程的功率谱密度与其自相关函数是一对傅立叶变换
关系，所以功率谱密度Pz(f)为：
Pz(f)??Rz(?)e?j2?f?d?????1??j2?f?cos???tri(?)ed? 0???2?2?tri(t)??Sa()由三角函数的傅里叶变换性质 ?2 ??其他?0