发布时间 : 星期六 文章2019届人教版高中数学必修5【新课教学过程1】2.3等差数列的前n项和更新完毕开始阅读2a1523dfce84b9d528ea81c758f5f61fb73628f3
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2.3 等差数列的前n项和
第一课时
推进新课
教师出示投影胶片1:
印度泰姬陵aj Maha是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格拉市,泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作,这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征
陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗?(这问题赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数
师 对,问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢? [合作探究]
师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中我们取下第1层到第21层,得到右图,则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢
生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了
师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们是否有简单的方法来解决这个问题呢
生 有!我用几何的方法,将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形.平行四边形中的
每行宝石的个数均为22个,共21行.则三角形中的宝石个数就是
(1?21)?212
师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和,真是太好了!我将他的几何法写成式子就是: 1+2+3+…+21, 21+20+19+…+1,
对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法 现在我将求和问题一般化:
(1)求1到n的正整数之和,即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注:这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决
(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn
生1 对于问题(2),我这样来求:因为Sn=a1+a2+a3+…+an, Sn=an+an-1+…+a2+a1,
再将两式相加,因为有等差数列的通项的性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq, 所以Sn?n(a1?an).(Ⅰ) 2生2 对于问题(2),我是这样来求的:
因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-1)×d], 所以Sn=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d=na1+即Sn=na1+
n(n?1)d2
n(n?1) d.(Ⅱ2
[教师精讲]
两位同学的推导过程都很精彩,一位同学是用“倒序相加法”,后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论,并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n,有利于我们的记忆 [方法引导]
师 如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项为an,则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行,若已知首项a1,项数为n,公差d,则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行 引导学生总结:这些公式中出现了几个量? 生 每个公式中都是5个量
师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式,你会有何种想法
生 已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二
师 当公差d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数,且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差 [知识应用]
【例1】 (直接代公式)计算: (1)1+2+3+…+n; (2)1+3+5+…+(2n-1); (3)2+4+6+…+2n;
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n
(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)~(3),并请一位同学回答 生
(1)1+2+3+…+n=
n(n?1)2;
(2)1+3+5+…+(2n-1)=
n(1?n?1)2 =n2
;
(3)2+4+6+…+2n=
n(2n?2) =n(n2师 第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能,那应如何解答?(小组讨论后,让学生发言解答
生 (4)中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n
生 上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n
师 很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解 【例2】 (课本第49页例
分析:这是一道实际应用题目,同学们先认真阅读此题,理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗
生 由题意我发现了等差数列的模型,这个等差数列的首项是500,记为a1,公差为50,记为d,而从2001年到2010年应为十年,所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了
师 这位同学说得很对,下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式
【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?
分析:若要确定其前n项求和公式,则必须确定什么? 生 必须要确定首项a1与公差d
师 首项与公差现在都未知,那么应如何来确定?
生 由已知条件,我们已知了这个等差数列中的S10与S20,于是可从中获得两个关于a1和d的关系式,组成方程组便可从中求得 (解答见课本第50页
师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中,有5个变量.已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题 [合作探究]
师 请同学们阅读课本第50页的例3,阅读后我们来互相进行交流 (给出一定的时间让学生对本题加以理解
师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子,来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么
生 从所给的和的公式出发去求出通项
师 对的,通项与前n项的和公式有何种关系 生 当n=1时,a1=S1,而当n>1时,an=Sn-Sn-1
师 回答的真好!由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n≥2时,an=Sn-S n-1, 即an=S1(n
Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-
1,我们从中知它是等差数列,这时当n=1也是满足的,但是不是所2