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如果可以从少量重复的编码中恢复出明文则
Metet≡M（mod（n））
≡1（mod ?(n)）
t?1ed=（mod ?(n)）
e 的取值有问题（周期t小）
9.6假定我们已知若干个用RSA算法编码的分组但不知私钥，假设n=pq，e是公钥。若某人告诉我们说它知道其中的一个明文分组与n有公因子，这对我们 有帮助吗？ 解答：
是有帮助的；
因为pq=n（p，q都为大素数）C=Memodn
说明明文中包含p或q的因子，而这个人已知道明文分组中有与n的公因子，表明明文块是p或q的倍数；可以测试每个组，如果互质则为p或q，如果不互质，则继续求它的因子得出p或q。
9.7在RSA公钥密码体制中，每个用户都有一个公钥e，一个私钥d，假定bob的私钥已泄密，bob决定产生新的公钥和新的私钥，而不是产生新的模数，请问这样安全吗？ 解答： 不安全；
私钥泄密，则攻击者可以利用e，d和n按照加密公式C=M(modn)判断出p和q，易见?(n)
e也就知道了
又edmod ?(n)=1 当n不变时 d≡e?1mod ?(n)
所以可以解出密文 M=Cdmodn
9.8假设bob使用RSA密码体制，其中模数非常大以使得因子分解是不可行的。假设 alice给bob发消息，其中的字母表示为0到25（A→0，B→1，……,Z→25）。然后对每个字母用RSA算法单独加密，参数e和n都很大，这种方法安全吗？如果不安全，请给出最有效的攻击方法。 解答：
假定{A,B,……Z}符合相对应的整数代表字母符号在字母表中的位置，即形成一组信息块SM={0,1,2……25}这组信息对应的密文块SC={0emodn，1modn ……25emodn } 每个人都可以用公钥计算出来； 最有效地攻击方法是计算Meemodn，用密文创建一个查阅表作为索引，相应的明文是查阅
表中相应位置对应的值。
10.1用户A和用户B使用Diffie—Hellman密钥交换技术来交换密钥，设公用素数q=71，本原根α=7.
a.若用户A的私钥b.若用户B的私钥
XA=5，则A的公钥YA为多少? XB=12，则B的公钥YB为多少？
c.共享的密钥为多少？
解答： a. b.
YA= αXAmodq=75mod71=51
66YB=αXBmodq=712mod71=（（7mod71）（7mod71））mod71=4
c.K=（YB）
5XAmodq=（YA）
XBmodq
=4mod71 =30
10.2设Diffe-Hellman方案中，公用素数q=11，本原根α=2。 a.证明2是11的本原本。
b.若用户A的公钥YA=9，则A的私钥XA为多少？ c.若用户B的公钥YB=3，则共享的密钥K为多少？
解答： a.证明：
假设2是11的本原根，则有：
2，2，……2是（模11）各不相同的与11互素 -10与11互素 而
21021=2=2（mod11） 22=4=4（mod11） 23=8=8（mod11） 24=16=5（mod11）
25=32=10（mod11） 26=64=9（mod11） 27=128=7（mod11） 28=256=3（mod11） 29=512=6（mod11） 210=1024=1（mod11）
可见，2是11的本原根。
b．由YA= αq=2
c. 公钥 K=(YB）
XAXAmodq 可知
XAmod11 由α可推断出
XA=6
6modq=3modq=3mod11=3
6
10.7设EIGamal体制的公用素数q=71，其本原根α=7。
a.若B的公钥YB=3，A选择的随机整数k=2，则M=30的密文是什么？ b.若A选择的k值使得M=30的密文为C=（59，C2），则整数C1是多少？
解答：
a. 由于EIGamal体制如题6所示 所以 K=(YB）modq=3mod71=9
k2C1=αmodq=7mod71=49
k2C2=αmodq=9*（30）mod71=57
所以密文为（C1，C2）=（49,57） B．由C1=αmodq可知 59=7mod71 尝试k值
kkk71mod71=7，72mod71=49，73mod71=59
所以k可判定为3
又k=(YB）modq=33mod71=27
kC2=kmodq=27*30mod71=29
10.8根据实数域上椭圆曲线算术中的规则（5），要计算点Q得两倍，则画一条切线并找出另一交点S。那么Q+Q=2Q=—S。若该切线不是垂直的，则恰好只有一个交点。但是若切线是垂直的，那么在这种情况下，2Q的值是多少？3Q的值是多少？
若斜线是垂直的则2Q=0,3Q=Q+（-Q）+Q=0
10.10点（4,7）在椭圆曲线y2=x2-5x+5（定义在实数域上）上吗？
如果点（4,7）在椭圆曲线上，则必满足方程y2=x2-5x+5 X=4，x2-5x=43-20+5=49 Y=7，y2=49
49=49 所以点（4,7）在椭圆曲线y2=x2-5x+5上
10.11设实数域上的椭圆曲线为y2=x3-36x，令P=（3,9），Q=（-2,8），计算P+Q和2P。
解答： λ=
y2?y1?2?(?3)modp=modp=-1
x2?x18?9X3=λ2-x1-x2=（-1）2-（-3）-（-2）=6 y3=λ（x1-x3）-y1=-1（-3-6）-9=0
因为P+Q=R 所以R为（6，0）
因p，q不等，为椭圆曲线y2=x3-36x的两相异点， 2p即为一个点与自身相加P+P=2P=R yp=q≠0 有xR=（3x2p?α2yp23?（3）?（-36）22—2xp=（）—2×（-3）=0.25+6=6.25 ）2?9yR=（3x2p?α2yp(xp-xR)—yp=（-0.25）（（-3）-6.25）-9=-4.375 ）所以2p=（6.25，-4.375）
ECC:推导椭圆曲线的加法公式：计算P+Q，2P 解：
椭圆曲线的方程为：y2=x3+ax+b
椭圆曲线上的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，求P(+)Q=(x3，y3) 由P(+)Q的定义，设y=аβ