发布时间 : 星期五 文章（word完整版）八年级下册数学二次根式知识点整理更新完毕开始阅读2a6d348ac57da26925c52cc58bd63186bceb92b1
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 一、 二次根式的乘法法则
a ．b =ab （a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 （1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。 （2） 推广①a ．b ．c =abc （a≥0，b≥0，c≥0）②ab ．cd =acbd ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。 练习：（1）28 ．7 ；（2）二、二次根式乘法法则的逆用
ab =a ．b （a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。 注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如（-4）×（-9） ≠-4 ．-9 。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。 推广：abcd =a ．b ．c ．d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0） 练习：化简 （1）300 ； （2）（-14）×（-112） ； （3）200a5b4c3 ； （4）132-122 ； （5）16x4+32x2 三、二次根式的除法法则 a
=b
a
（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 b
1
．256 ；（3）4xy ．4
1
(4)627 ．（-23 ） y
a
注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然 ＞0，
b
aa
有意义，但a ，b 在实数范围内无意义；若b=0，则 无意义。 bb（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如1
4 必须先化成4
17
，以4
免出现
1
4 =4 ×41
这样的错误。 4
（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
推广：（ma ）÷（nb ）=（m÷n）×（a ÷b ），其中a≥0，b＞0，n≠0。 3练习：计算（1）48 ÷6 ； （2）-27 ÷（ 10
a
（3） 4a3b ÷（-4b
四、二次根式除法法则的逆用
aa = （a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 bb 注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a
a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要 ≥0即可。例如计算
b
-3-3 = ，而应写为-4-4
-3
=-4
33 3 = = 。 424
-3
，不能写为-4
3
）； 8
a72a2b ； （4） 4b6b
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为
a
（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分b
子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 练习：化简（1）4
5 ； （2）9
81×125
； （3）144
121b5
16a2
五、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：
（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。 ★化简二次根式的一般方法
方法 举例 将被开方数中能开得尽方8 =4×2 =2的因数或因式进行开方 化去若被开方数中含有14根号带分数，应先将带1==33下的分数化成假分数 分母 若被开方数中含有9小数，应先将小数0.9==10化成分数 被开方数是多项式的要先X5+2x3y2+xy4=进行因式分解 （1）0.3 ； （2）2
xy ； （3）5
2，xy=xy．x=xy4×32=3 或3×3311=334242x 444×32===3 333×33999×103===10 101010×1010903=10或0.9=10010x（x4+2x2y2+y4）=x（x2+y2）2=（x2+y2）x 练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。 yx 2 3222；（4） ；（5）a+6a+9a ； （6）2（x-y）；（7）32n ；（8） x33
拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含．．．．．二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；ab+cd与ab-cd等。
练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）240；（2）1.25；（3）
典型例题剖析
题型一：二次根式乘除法法则成立的条件
（1） 若x+3．x-3=（x+3）（x-3）成立，则（ ） A、x≥3 B、x≥-3 C、-3≤x≤3 D、x为任意实数 x
（2）如果=
x-6
x
成立，那么（ ） x-6
71；（4）75a2b 20
A、x≥6 B、0≤x≤6 C、x≥0 D、x＞6 题型二：二次根式的化简
化简：（1）12ab．
9a3
； （2）412-402； （3）x4+x2 4
题型三：二次根式的乘法混合运算 计算：（1）
1
2÷328×（-52
22）；（2）27
a2-b2
×6a
a4
÷（3a+6b5
a-b
） b
题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内 把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内： （1）5
3；（2）-32；（3）-2a5
1；（4）-a2a
1- ；（5）xa
y
（x＜0，y＜0） x
题型五：二次根式的大小比较
比较大小：（1）72与311； （2）-211与-35
二次根式的加减
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2
5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 一、可以合并的二次根式
★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如ma+na=（m+n）a
练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。 1（1）27；（2）-
5
27；（3）a
1；（4）3
2a3
（a＞0，b＞0）；（5）bb
1
； 27a3