发布时间 : 星期日 文章人教A版2020届高考数学二轮复习：数列(基础)更新完毕开始阅读2a72f37d29160b4e767f5acfa1c7aa00b52a9d0f
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8.(难度大 理)已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3＋a3,S5＋a5,S4＋a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
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(2)设Tn＝Sn－S(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
n
【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q,
因为S3＋a3,S5＋a5,S4＋a4成等差数列,所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5,即4a5a51＝a3,于是q2＝a＝4. 331又{an}不是递减数列且a1＝2,所以q＝－2. 3?1?3故等比数列{an}的通项公式为an＝2×?－2?n－1＝(－1)n－1·2n. ??11＋?n，n为奇数，?21??(2)由(1)得Sn＝1－?－2?n＝???11－??2n，n为偶数. 3113当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1＜Sn≤S1＝2,故0＜Sn－S≤S1－S＝2－n1253＝6. 31134当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以4＝S2≤Sn＜1,故0＞Sn－S≥S2－S＝4－3n27＝－. 1257所以数列{Tn}最大项的值为6,最小项的值为－12. 9.已知数列{dn}满足dn＝n,等比数列{an}为递增数列,且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋
*1,n∈N.
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(1)求an;
(2)令cn＝1－(－1)nan,不等式ck≥2014(1≤k≤100,k∈N*)的解集为M,求所有dk＋ak(k∈M)的和.
【解】 (1)设{an}的首项为a1,公比为q,所以(a1q4)2＝a1q9,解得a1＝q, 又因为2(an＋an＋2)＝5an＋1,所以2(an＋anq2)＝5anq,
则2(1＋q2)＝5q,2q2－5q＋2＝0,解得q＝12(舍)或q＝2,所以an＝2×2n－1＝2n. (2)则cn＝1－(－1)nan＝1－(－2)n,dn＝n,
当n为偶数,cn＝1－2n≥2014,即2n≤－2013,不成立; 当n为奇数,cn＝1＋2n≥2014,即2n≥2013,
因为210＝1024,211＝2048,所以n＝2m＋1,5≤m≤49 则{dk}组成首项为11,公差为2的等差数列 {ak}(k∈M)组成首项为211,公比为4的等比数列 则所有dk＋ak(k∈M)的和为 4511＋99111－4452101－20482101＋53772＋21－4＝2475＋3＝3. 10.设函数f(x)＝x
2＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)设{xn}的前n项和为Sn,求sin Sn. 【尝试解答】 (1)令f′(x)＝12＋cos x＝0, 所以cos x＝－12, 千里之行 始于足下
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2解得x＝2kπ±3π(k∈Z). 由xn是f(x)的第n个正极小值点知, 2xn＝2nπ－3π(n∈N*). 22nπ(2)由(1)可知,Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－3nπ＝n(n＋1)π－3, ?所以sin Sn＝sin?n?n＋12nπ?π－3?. ?因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积,n(n＋1)一定为偶数,所以sin Sn＝－2nπsin3. 当n＝3m－2(m∈N*)时, 4?3?sin Sn＝－sin?2mπ－3π?＝－2; ??当n＝3m－1(m∈N*)时, 2?3?sin Sn＝－sin?2mπ－3π?＝2; ??当n＝3m(m∈N*)时,sin Sn＝－sin 2mπ＝0. m∈N，??综上所述,sin S＝?32，n＝3m－1m∈N，??0，n＝3mm∈N.*n**3－2，n＝3m－2 13
11.已知等比数列{an}的公比q＝3,前3项和S3＝3. (1)求数列{an}的通项公式;
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π
(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝6处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式. 13【解】 (1)由q＝3,S3＝3, a1得1－331311n－1n－2＝3,解得a1＝3.所以an＝3×3＝3. 1－3(2)由(1)可知an＝3n－2,所以a3＝3. 因为函数f(x)的最大值为3,所以A＝3; π因为当x＝6时f(x)取得最大值, ?π?所以sin?2×6＋φ?＝1. ??π又0＜φ＜π,故φ＝6. π??所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin?2x＋6?. ??12.(数列与不等式)在等比数列{an}中,an＞0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25,又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn＝log2an,求数列{bn}的前n项和Sn;
S1S2Sn
(3)是否存在k∈N*,使得1＋2＋…＋n＜k对任意n∈N*恒成立,若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由.
【尝试解答】 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25,
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∴a23＋2a3a5＋a5＝25,∴(a3＋a5)＝25,
又an＞0,∴a3＋a5＝5,又a3与a5的等比中项为2,
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