发布时间 : 星期四 文章【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用高考专题突破一高考中的导.doc更新完毕开始阅读2aaf613cdc80d4d8d15abe23482fb4daa48d1d6f
3 cix
1. (2015-重庆)设函数心)=& gR).
(1) 若/(对在兀=0处取得极值，确定Q的值，并求此时曲线y=/(x)在点(1, /⑴)处的切线方程;
⑵若./(兀)在［3, +8)上为减函数，求Q的取值范围. 解(1)对.心)求导得
7
1 W=
(6x+a)e—(3x+ax)e
x1 2x—3x2 + (6 —￡7)x + tz = ? '
因为/(x)在兀=0处取得极值，所以f (0)=0,即a=0.
2 — 3 xr J 6x 2 2
当<7=0时，./W=K，f(x)= \\ 一,故?川尸& f(1)=5,从而在点(1，如))处的
3 3
切线方程为y—-=-(x—1),化简得3x—cy=0.
c u —3/+(6—Q)X+Q
(2) 由(1)知 f (x)= ---------- 才」一.
令 g(x)= —3” + (6—a)x+a, 由g(Q=o解得“」一「尸丙, 6—G+Q/+36
f （x）=cosx—xsiar—co&x = —xsinx.
因为在区间(0,号)上(x)=—xsinx<0, 所以/(x)在区间［0,刽上单调递减. 从而 /(x)W/(0) = 0.
也= 6
当X 当X! 由./⑴在［3, +8)上为减函数，知X2=—\严+%3,解得 心一号， 故Q的取值范围为［一号,+8). 2 已知函数f\\x)=xcosx—sinr,兀G［0,申］. (1)求证：./WW0； ⑵若a<^ (2) 当x>0时，“泄>G”等价于“sinY—血>0”； X 等价于 “sinx—加<0” . X 令 g(x)=s\\nx—cx,贝U g‘ (x) = cosx—c. 当cWO时，g(x)>0对任意xe(o,刃恒成立， 当 C$1 时，因为对任意 xW(0,号)，gf (x) = cosx —c<0, 所以g(x)在区间［0,刽上单调递减. 从而g(x) g'(Xo) = cosxo_c=0. g(x)与g‘(X)在区间(0,号)上的情况如下： X g‘（x） g（x） （0,兀°） 兀0 （兀0, 2^ — + 7 0 因为g(x)在区间［0, Xo］上是增函数，所以g(xo)>g(O)=O. 进一步，“g(x)>0对任意xe(0,号)恒成立”当且仅当 g(9=l—歩*20,即 0 2 Tt 综上所述，当且仅当cW半时，g(x)>0对任意xe(o,为恒成立; JT 当且仅当c21时，g(x)<0对任意xW(0,二)恒成立. 所以，若a<^ 3. 某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6 —成正比，且售价为10元时，年销量为28万件. (1) 求年销售利润y关于售价x的函数表达式； (2) 求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润. 解⑴设晋-\心-￥)2, ???售价为10元时，年销量为28万件， ?°?普^—28=?(10—￥冗解得k=2. ?：〃=-2(兀-- 2,+21兀+18. /.y=(-2x2 + 21x+18)(x-6)=-2x3 + 33x2-108x-108(6 令=0,得x=2(舍去)或x=9, 显然，当 xe(6,9)时，y >0； 当 xW(9,ll)时，y <0. ???函数J；=-2X3 + 33X2-108X-108在(6,9)上单调递增,在(9,11)上单调递减. ???当x=9时，y取最大值，且畑x=135, 即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元. rf4. (2015?课标全国I )设函数.沧)=孑一加眦. (1) 讨论.心)的导函数/' (x)零点的个数； 2 ⑵证明：当 a>0 时，/(-￥)三 2d + 6/111—. ⑴解.心)的定义域为(0, +8), f (x)=2e2x-^(x>0). 当aWO时，f (x)>0, f (兀)没有零点. 当Q>0时，因为y=e2x单调递增，丿=一手单调递增， 所以f (x)在(0, +切上单调递增.又f ⑷>0,当『满足0<呛且b<+时,f @)<0,故当a>0 时，f (x)存在唯一零点. (2) 证明 由⑴，可设/⑴在(0, +8)的唯一零点为xo,当xW(0, X。)时，/ (x)<0；当用(曲， + 8)时， / (x)>0. 故./U)在(0, Xo)上单调递减，在(Xo，+°°)上单调递增，所以当X=Xo时，./(X)取得最小值，最 小值为/(Xo). 由于 2e2v° 一豊=0,所以/(x°)=盘+2axo+aln：22a+aln：.故当 a>0 时，f[x)^2a+a\\vr. 5. 设函数f(x) =x~+?ln(x +1)有两个极值点xi，兀2，且xi (3) 若对任意的xe(X1, +-),都有成立，求实数加的取值范围. 解 ⑴由比)=,+aln(x+1)得 a 2x2+2x+tz f ⑴=加+吊= -(X>_1)- 个均大于一1的不相等的实数根，其充要条件为 /=4—8a>0, g(-l)=a>0, 2x + 2x+a 2(x—X|)(x—X2) k121其中一 1\兀2，故 (2)由(1)可知f (x)= --------------------- ―—U x+l x+1 2令g(x)=2x + 2x+at则其图像的对称轴为x=—故由题意可知xi，疋是方程g(x) = 0的两 v, 2① 当%e(-i, X1)时，f (x)>0,即./W在区间(一1, X|)上单调递增； ② 当X^(X|, X2)时，.广(x) (3) 由(2)可知./(X)在区间(X], + 8)上的最小值为沧2). 由于g(0)=Q>0,因此由g(x)的图像知一*<兀2<0. 由 g(.V2)= 2X2 + 2X2 + a = 0 可得 6/=—(2X2+ 2X2)? 从而 fix2)=X2+a\\n(x2+1) =X2 - (2^2 + 2X2)ln(X2 +1). 设 /?(x)=x2—(2x2+2x)ln(x+1),其中一* =—2(2x+ l)ln(x+1). 由一* 故於(x)>0,故砥)在〔一*, 0)上单调递增， l-21n2 —~4~? l-21n2 故实数加的取值范围为加W