发布时间 : 星期二 文章分步计数原理分类计数原理 练习更新完毕开始阅读2baca57b76c66137ee0619d6
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2
种不同的方法，??，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝ 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，??，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝ 种不同的方法． 概念辨析：
(1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
【例1】从集合{1,2,3，?，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )． A．3 B．4 C．6 D．8 练习： (2013·福建卷改编)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )． A．14 B．13 C．12 D．9
【例2】 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )．
A．180种 B．360种 C．720种 D．960种
练习：将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有( )． A．1种 B．3种 C．6种 D．9种
【例3】用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．
(1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n.
练习1 (2014·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.
1 2 4 5 3
练习2：如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种， 要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )． A．96 B．84 C．60 D．48
第2讲 排列与组合
1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取按照一定的顺序排成一列 出m(m≤n)个不同元组合 合成一组 素 2概念辨析 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
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(3)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有A55－A2A4＝72种．( )
(4)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A34＝168(个)．( )
【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)共有多少种不同的排法？
(2)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (3)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
【训练1】 (1)(2014·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! (2)(2013·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )． A．9 B．10 C．18 D．20
【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
【训练】1．(2014·扬州调研)从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________种．
2.若从1,2,3，?，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【例3】 (1)(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
(2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )．
1222222
A．A6C4 B.2A6C4 C．A26A4 D．2A6
【训练3】 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )．
A．24 B．18 C．12 D．6
【典例】 (2012·山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )．
A．232 B．256 C．472 D．484
一、选择题 1、有5人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答)．
2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )． A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
3．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )． A．18 B．24 C．30 D．36
4．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )． A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
5．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为( )． A．8 B．12 C．16 D．24
二、填空题
6．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种(用数字作答)．
7．(2014·杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．
8．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个． 三、解答题
9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？
10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中． (1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？ (2)恰有一个空盒的放法共有多少种？