发布时间 : 星期三 文章2011年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（数学理）解析版更新完毕开始阅读2c3aece2168884868762d6ba
2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析
科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)
一、选择题
（1）复数z?1?i，z为z的共轭复数，则zz?z?1? （A）?2i （B）?i （C）i
（D）2i
【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。 【精讲精析】选B.z?1?i,zz?z?1?(1?i)(1?i)?(1?i)?1??i. （2）函数y?2x(x≥0)的反函数为
x2(x?R) （A）y?4（C）y?4x2(x?R)
x2(x≥0) （B）y?4（D）y?4x2(x≥0)
【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。
y2【精讲精析】选B.在函数y?2x(x≥0)中，y?0且反解x得x?，所以y?2x(x≥0)的反函数
4x2(x?0).[来源:学科网] 为y?4 （3）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是
2233（A）a＞b?1 （B）a＞b?1 （C）a＞b （D）a＞b
【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.
【精讲精析】选A.即寻找命题P使P?a?b,a?b推不出P，逐项验证可选A。 （4）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，则k? （A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二： 利用Sk?2?Sk?ak?2?ak?1直接利用通项公式即可求解，运算稍简。 【精讲精析】选D.
Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?2a1?(2k?1)d?2?(2k?1)?2?24?k?5.
（5）设函数f(x)?cos?x(?＞0)，将y?f(x)的图像向右平移重合，则?的最小值等于 （A）
?个单位长度后，所得的图像与原图像31 （B）3 （C）6 （D）9 3【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将y?f(x)的图像向右平移所得的图像与原图像重合，说明了【精讲精析】选C. 由题
?个单位长度后，3?是此函数周期的整数倍。 3?3?2???k(k?Z),解得??6k，令k?1，即得?min?6.
(6)已知直二面角??l??，点A??,AC?l,C为垂足，B??,BD?l,D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 (A)236 (B) (C) (D) 1 333【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明AC?平面
?，进而平面??平面ABC,所以过D作DE?BC于E，则DE就是要求的距离。
【精讲精析】选C.
如图，作DE?BC于E，由??l??为直二面角，AC?l得AC?平面
?，进而AC?DE，又BC?DEB,CA?CC?故DE为D到平面ABC的距离。 在Rt?BCD中，利用等面积法得DE?，于是DE?平面ABC，
BD?DC1?26. ??BC33 (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同
的赠送方法共有
(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种
【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。[来源:学科网ZXXK]
1【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C4?4种；取出的2本画册，22本集邮册，此时赠送方法有C4?6种。总的赠送方法有10种。[来源:Zxxk.Com]
(8)曲线y=e(A)
?2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
112 (B) (C) (D)1 323?2x【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。 【精讲精析】选A.y???2e,y?|r?0??2切线方程是：y??2x?2,在直角坐标系中作出示意图，即得
S?
121?1??。 23352 (9)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1?x)，则f(?)=
(A) -
1111 (B)? (C) (D)
4242
【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量?【精讲精析】选A.
5转化到区间[0,1]上进行求值。 21. 2先利用周期性，再利用奇偶性得: f(?)?f(?)??f()??521212 (10)已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A，B两点．则cos?AFB= (A)
4334 (B) (C)? (D)?
5555【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。
【精讲精析】选D.
?y2?4x2联立?，消y得x?5x?4?0，解得x?1,x?4.
?y?2x?4不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),
AF2?BF2?AB24??. 可求AB?35,AF?5,BF?2，利用余弦定理cos?AFB?2AF?BF5
(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为
(A)7? (B)9? (C)11? (D)13?
【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。 【精讲精析】选B.
作示意图如，由圆M的面积为
04
?，易得
MA?2,OM?OA2?MA2?23，
Rt?OMN中，?OMN?30?。
故MN?OM?cos30??3,S???32?9?..
????????1????? (12)设向量a,b,c满足|a|?|b|?1,a?b??,?a?c,b?c??60，则|c|2的最大值等于
(A)2 (B)3 (c)2 (D)1 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得
?到当线段AC为直径时，|c|最大.
【精讲精析】选A.如图，构造
???????????????AB?a,AD?b,AC?c,?BAD?120?,?BCD?60?,，[来源:学科网]
?所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，|c|最大，最大值为2.
二、填空题
(13)(1-x)的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为: .
rn?r【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意Cn. ?Cn218182r【精讲精析】0. 由Tr?1?C20, x的系数为C20,而C20. ?C20(?x)20得x的系数为C20
9
20
9
(14)已知a∈(
?5，?)，sinα=，则tan2α= 25【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切
值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。 【精讲精析】?4?525sin?1.由a∈(，?)，sinα=得cos???,tan????, 3255cos?2tan2??2tan?4??.
1?tan2?3x2y2 (15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2279的平分线．则|AF2| = .
【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】6. 由角平分线定理得：
|AF2||MF2|1??,|AF1|?|AF2|?2a?6,故|AF2|?6. |AF1||MF1|2 (16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .
【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线. 【精讲精析】
2?.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为?CAP?90，所3以?FCA为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。
2FC2tan?FCA??3? CA32三、解答题
(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C.
【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到sinA?cosC.即可求解。
【精讲精析】选D.由A?C?90，得A为钝角且sinA?cosC，
?