发布时间 : 星期一 文章河南省2008年—2014年中考数学压轴题图文解析更新完毕开始阅读2c3b6bbbd05abe23482fb4daa58da0116d171f4e
图2 图3
考点伸展
第（3）题的11个“好点”是这样求的：
如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE． 因为S△POD＝OD?(?xP)??3x，S△POE＝OE?yP??S△PDE＝?3x?121212x?16，S△DOE＝12，所以 41211x?16?12＝?x2?3x?4＝?(x?6)2?13． 444因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．
如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．
当S＝12时，方程?(x?6)2?13?12的两个解－8, －4都在－8≤x≤0范围内． 所以“使△PDE的面积为整数” 的 “好点”P共有11个．
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图4
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例 2014年河南省中考第23题
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、
3B(5, 0)两点，直线y??x?3与y轴交于点C，与x轴交于
4点D，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE＝5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P
的坐标；若不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14河南23”，拖动点P运动，可以体验到，PE与EF的比值，有两个时刻等于5．当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．
思路点拨
1．用含有m的式子表示PE、EF的长，注意EF存在两种情况．
2．第（3）题我们这样来思考：假如点E′落在了点C上方的某个位置，那么∠EC E′其实是确定的，作角平分线就得到了点P的位置．点P确定了，就可以确定点E、E′的准确位置．此时比较容易观察到菱形PE′CE．根据EC＝EP解方程的时候，转化为m的四次方程，把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程．解得到m的四个根．
这四个根的几何意义是当点E′在C上方时，角平分线所在直线与抛物线有两个交点；当点E′在C下方时，角平分线所在直线与抛物线也有两个交点．注意舍去x轴下方的解．
图文解析
（1）因为抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(5, 0)两点， 所以y＝－(x＋1)(x－5)＝－x2＋4x＋5．
3（2）点P的横坐标为m，那么P(m,－m2＋4m＋5)，E(m,?m?3)，F(m, 0)．
4319所以PE?(?m2?4m?5)?(?m?3)??m2?m?2．
44若PE＝5EF，存在两种情况：
3193如图2，当E在F上方时，EF??m?3．解方程?m2?m?2?5(?m?3)，
44413得m＝2，或m?（点P在x轴下方，舍去）．
23193如图3，当E在F下方时，EF?m?3．解方程?m2?m?2?5(m?3)，
444得m?1?691?69，或m?（点P在x轴下方，舍去）． 2214
图2 图3 111（3）点P的坐标为(?,)，或(4,5)，或(3?11,211?3)．
24考点伸展
第（3）题的思路是这样的：
如图4，当点E′落在y轴上时，四边形PE′CE是菱形．这是因为： 根据对称性，CE＝CE′，∠PCE＝∠PCE′．
又因为PE//CE′，所以∠PCE＝∠CPE′．所以∠PCE′＝∠CPE′． 所以CE′＝PE′．所以四边形PE′CE是平行四边形． 所以四边形PE′CE是菱形．
3325219由E(m,?m?3)、C(0, 3)，得EC2?m2?(?m)2?m．而PE??m2?m?2，由
44164EP＝EC，可得两个方程：
1951解方程?m2?m?2?m，得m??，或m＝4（如图4所示）．
442195解方程?m2?m?2??m，得m?3?11，或m?3?11（点P在x轴下方，舍去）
44（如图5所示）．
图4 图5
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例 2013年河南省中考第22题
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_______．
图1 图2
（2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2
的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE//AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF．．．．的长．
图3 图4
动感体验
请打开几何画板文件名“13河南22”，拖动左图中的点E绕点C旋转，可以体验到，△CAN与△DCM保持全等，AN＝DM．观察右图，△CDF与△BDE的底边CD与BD相等，因此当高GF与EH相等时，△CDF与△BDE的面积相等，符合条件的点F有两个．
答案
（1）①DE＝2AC；②S1＝S2．
（2）如图5，由“角角边”可以证明△CAN≌△DCM，所以AN＝DM． 因此△BDC与△AEC是等底等高的两个三角形，面积相等．
（3）如图6，作△BDE的边BD上的高EH．延长CD交AB于G，以G为圆心，EH的长为半径画圆与AB的两个交点，就是要求的点F．BF＝843或3． 3316