河南省2008年—2014年中考数学压轴题图文解析 联系客服

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例 2009年河南省中考第23题

如图1,直线y?31x?b经过点B(?3,2),且与x轴交于点A,将抛物线y?x2沿33x轴作左右平移,记平移后的抛物线为C,其顶点为P.

(1)求∠BAO的度数; (2)抛物线C与y轴交于点E,与直线AB交于两点,其中一个交点为F,当线段EF//x轴时,求平移后的抛物线C对应的函数关系式;

(3)在抛物线y?12x平移的过程中,将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB,点D能3否落在抛物线C上?如能,求出此时抛物线C的顶点P的坐标;如不能,说明理由.

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09河南23”,拖动点P在x轴上运动,可以体验到,EF有两个与x轴平行的时刻,△APD保持等边三角形的形状,当D落在抛物线上时,恰好D也落在y轴上.

思路点拨

1.解第(2)题的策略是:设抛物线C的顶点P的坐标为(m,0),用m表示点E的坐标,当EF//x轴时,根据对称性,用m表示点F的坐标,将点F的坐标代入直线的解析式,解关于m的方程就可以了.

2.解第(2)题的策略是:设等边三角形APD的边长为a,用a表示点D、P的坐标,将点D的坐标代入抛物线C的解析式,解关于a的方程就可以了.

图文解析

因为直线y?所以2?3x?b经过点B(?3,2), 33?(?3)?b.解得b?3. 33x?3. 3所以直线的解析式为y?所以直线与x轴的交点为A(?33,0),与y轴的交点为(0,3). 因此tan?BAO?333?3. 3所以∠BAO=30°.

(2)设抛物线C的顶点P的坐标为(m,0), 那么抛物线C的解析式为y?1121(x?m)2?x2?mx?m2. 333325

所以抛物线C与y轴的交点为E(0,m2).

当EF//x轴时,点F与点E关于抛物线的对称轴对称, 所以点F的坐标可表示为(2m,m2).

将F(2m,m2)代入直线y?21313133123x?3,得m2?m?3. 333整理,得m?23m?9?0.

解得m?33(如图2)或m??3(如图3). 因此抛物线C的解析式为y?11(x?33)2或y?(x?3)2. 33

图2 图3 图4

(3)设等边三角形APD的边长为2a,

那么点D的坐标可以表示为(a?33,3a),点P的坐标为(2a?33,0).

将D(a?33,3a)代入C:y?得3a?

1(x?2a?33)2, 312a.解得a?33. 3因此当抛物线C的顶点P的坐标为(33,0)时,D能落在抛物线C(如图4).事实上,点D恰好落在y轴上.

考点伸展

第(3)题也可以设抛物线C的顶点P的坐标为(m,0),

?m?333(m?33)?AP?m?33那么,点D的坐标可以表示为?,???. 22??1将点D的坐标代入抛物线C:y?(x?m)2,

33(m?33)1?m?33???得.解得m?33. ???23?2?

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例 2008年河南省中考第23题

4 x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0).

3(1)试说明△ABC是等腰三角形;

(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.

① 求S与t的函数关系式;

② 设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;

③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.

如图1,直线y??

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”,拖动点M从A向B运动,观察S随t变化的图象,可以体验到,当M在AO上时,图象是开口向下的抛物线的一部分;当M在OB上时,S随t的增大而增大.

观察S的度量值,可以看到,S的值可以等于4.

观察△MON的形状,可以体验到,△MON可以两次成为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

思路点拨

1.第(1)题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.

2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.

3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.

4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.

图文解析

4x?4与x轴的交点为B(3,0)、与y轴的交点C(0,4). 3Rt△BOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5. 点A的坐标是(-2,0),所以BA=5. 因此BC=BA,所以△ABC是等腰三角形.

(2)①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H.

(1)直线y??在Rt△BNH中,BN=t,sinB?44,所以NH?t. 55如图2,当M在AO上时,OM=2-t,此时

11424S??OM?NH?(2?t)?t??t2?t.定义域为0<t≤2.

2255527

如图3,当M在OB上时,OM=t-2,此时

11424S??OM?NH?(t?2)?t?t2?t.定义域为2<t≤5.

22555

图2 图3

②把S=4代入S?

22424t?t,得t2?t?4. 5555解得t1?1?11,t2?1?11(舍去负值).

因此,当点M在线段OB上运动时,存在S=4的情形,此时t?1?11. ③如图4,当∠OMN=90°时,在Rt△BNM中,BN=t,BM ?5?t,cosB?所以

3, 55?t325. ?.解得t?t58如图5,当∠OMN=90°时,N与C重合,t?5. 不存在∠ONM=90°的可能. 所以,当t?25或者t?5时,△MON为直角三角形. 8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.

如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=2.5.

图6 图7

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