发布时间 : 星期三 文章2018年中考数学真题分类汇编(第一期)专题22等腰三角形试题(含解析)更新完毕开始阅读2cf60293b42acfc789eb172ded630b1c59ee9b94
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【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当△BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠BPQ=90度，∠BQP=90度。在直角
中，
，
，
，则AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )
当∠BPQ=90度，则△BPQ~△BCA，则PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5， 设PQ=3x，则BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，
此时∠AQP为钝角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ， 则10-5x=3x，解得x= ， 则AQ=10-5x=
；
（ 2 ）当∠BQP =90度，则△BQP~△BCA，则PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5， 设PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，
此时∠AQP为直角，则当△APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ， 则10-4x=3x，解得x= 则AQ=10-4x= 故答案为：
； 或
是等腰三角形且
是直角三角形，要先找突破口，可先确
，
【分析】要同时使
定当△APQ是等腰三角形时，再讨论△BPQ是直角三角形可能的情况；或者先确定△BPQ是直角三角形，再讨论△APQ是等腰三角形的情况；此题先确定△BPQ是直角三角形容易一些：△BPQ是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到△BQP与△BCA相似，可得到△BQP三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论△APQ是等腰三角形时，是哪两条相等，构造方程解出未知数即可，最后求出AQ。
9．（2018?四川成都?3分）等腰三角形的一个底角为 【答案】80°
【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为 180°-50°×2=80° 故答案为：80°
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，就可求得结果。
∴它的顶角的度数为：，则它的顶角的度数为________．
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三.解答题
1. （2018?山东淄博?9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MG⊥NG ． （2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论． 【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE，
∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MG
CD，
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同理：NGBE，
∴MG=NG，MG⊥NG， 故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接CD，BE，相较于H， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC，延长线相交于H， 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
2．（2018·湖北省孝感·7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P； ③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．
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【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC，
∵EP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC； 故答案为：PA=PB=PC；
（2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键． 3（2018?北京?7分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重
合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH?DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF?GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
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