发布时间 : 星期一 文章中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)更新完毕开始阅读2d33cabeacf8941ea76e58fafab069dc5022472d
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【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数平移的规律，一次函数与二次函数的交点，三角形的内心，相似三角形的判定与性质等知识．综合性较强，有一定难度．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 例9. 【考点】二次函数综合题．【专题】计算题；压轴题；数形结合． 【分析】（1）抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C，那么这两个函数的解析式中的常数项相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出抛物线的顶点坐标，而这个顶点恰好在直线CD上，因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值，由此得解．（2）△ABC的外心到三角形三个顶点的距离都相同，即为△ABC的外接圆半径；因此先设出该外心的坐标，然后表示出三个半径长，令它们相等即可，可据此思路解题．（3）四边形ACPB中，△ABC的面积是个定值，因此△CPB的面积最大时，四边形的面积最大；可以过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，首先要求出线段PE的长度表达式，以PE为底、OB为高，即可得到△CPB的面积表达式，由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式，再根据函数的性质解题即可．
【解答】解：（1）∵二次函数：y=﹣x2+bx+c的图象与直线DC：y=x+3交于点C，∴c=3，C（0，3）；二次函数 y=﹣x2+bx+3中，顶点D （，得：+3=
），代入直线DC y=x+3中，
，解得 b1=0（舍）、b2=2；故二次函数的解析式：y=﹣x2+2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式知：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）；设△ABC的外心M
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（x，y），则：AM2=（x+1）+y、BM2=（x﹣3）+y、CM2=x2+（y﹣3）；由于AM=BM=CM，所以有：
，解得
，此时 AM=BM=CM=
；
综上，△ABC的外接圆半径为，外心的坐标（1，1）．
（3）如右图，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E；由B（3，0）、C（0，3）知，直线BC：y=﹣x+3；设点P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），PE=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x；则S四边形ACPB=S△ACB+S△CPB=AB?OC+PE?OB=×4×3+×（﹣x2+3x）×3 =﹣（x﹣）2+
；综上，四边形ACPB的最大面积最大值为
．
【点评】此题主要考查的是：函数解析式的确定、三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识；（3）题的解法较多，还可以过点P作x轴的垂线，将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分，解此类题目要注意结合图形，找出相关图形间的面积和差关系，根据已知条件选择简便的解题方法．
变式练习：【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把B（3，0）代入y﹣a（x﹣2）2+1，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）①由三角形的三边关系可知，|PA﹣PC|＜AC，当P、A、C三点共线时，|PA﹣PC|的值最大，为AC的长度，延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求的点．求得A（1，0），C（0，﹣3），根据勾股定理可得AC的长．根据待定系数法可求直线AC的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解；②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1，P1 关于x轴的对称点为P2，则P1、P2均为所求的点．在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的长，可得P1（2，﹣2﹣）．由对称性得P2（2，2+）． 【解答】解：（1）把B（3，0）代入y﹣a（x﹣2）2+1得a×（3﹣2）2+1=0，解得：a=﹣1．
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∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3；
（2）①由三角形的三边关系可知，|PA﹣PC|＜AC，∴当P、A、C三点共线时，|PA﹣PC|的值最大，为AC的长度，∴延长CA交直线x=2于点P，则点P为所求的点． 求得A（1，0），C（0，﹣3），则有OA=1，OC=3，∴AC=设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则
，解得
．
=
．
∴直线AC的解析式为y=3x﹣3，∵抛物线y=﹣x2+4x﹣3的对称轴为直线x=2， ∴点P（2，m），∴m=3×2﹣3=3，∴当m=3时，|PA﹣PC|的值最大，最大值为．
②设直线x=2与x轴的交点为点D，作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1，P1 关于x轴的对称点为P2，则P1、P2均为所求的点．∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角，∴∠AP1B=∠ACB，且射线DE 上的其它点P都不满足
∠APB=∠ACB．∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上．∴点E的横坐标为2． 又∵OB=OC=3，∴圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=﹣x上．∴E（2，﹣2）． 在Rt△ADE中，DE=2，AD=AB=（OB﹣OA）=（3﹣1）=1， 由勾股定理得EA=
=
=
，∴EP1=EA=
，∴DP1=DE+EP1=2+
，
∴P1（2，﹣2﹣）．由对称性得P2（2，2+）． ∴符合题意的点P的坐标为P1（2，﹣2﹣）、P2（2，2+）．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度． 中考题训练：【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标． 【解答】解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点A（0，3）， ∴3=a（0﹣4）2﹣1，
；∴抛物线为
；
时，x1=2，x2=6．
=
，BC=4，
（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，当
A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，∴OB=2，AB=
∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC， ∴
=
，即
=
，解得CE=
，∵
＞2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．
；
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为
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设P点的坐标为（m，
），则Q点的坐标为（m，
）；
∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+∴当m=3时，△PAC的面积最大为
；
）．
；此时，P点的坐标为（3，
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关
系、图形面积的求法等知识． 苏州中考题：（略）
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十、其它（如新定义型题等）： 例10. 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；新定义．【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
【解答】解：直线l：y=x+b经过点M（0，），则b=；∴直线l：y=x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x=1时，y1=×1+=y2=×2+=
＜1，当x=2时，
＜1，当x=3时，y3=×3+=＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
），则d=1﹣
=
； ）﹣1]=
，
①若B1为顶点，由B1（1，②若B2为顶点，由B2（2，综上所述，d的值为
或
），则d=1﹣[（2﹣
时，存在美丽抛物线．故选B．
【点评】考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键． 变式练习：1.【考点】二次函数综合题；切线的性质．【专题】综合题；压轴题． 【解答】解：（1）抛物线y=x2+2x﹣3中，x=0，则y=﹣3；y=0，则x=1或﹣3； ∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）；∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）； 故A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）． （2）∵C（0，﹣3），D（﹣1，﹣4），∴直线CD：y=x﹣3；将直线CD向左平移两个单位，得：y=（x+2）﹣3=x﹣1，此时直线经过点B（1，0）；联立抛物线的解析式有：
，解得
，
；∴F（﹣2，﹣3）．
（3）过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H．易得F（﹣2，﹣3），直线BF：y=x﹣1．设P（x，x2+2x﹣3），则M（x，x﹣1），∴PM=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+；PM的最大值是，此时x=﹣，当PM取最大值时△PBF的面积最大，S△PBF=S△PFM+S△PEM=
，△PFB的面积的最大值为
，P点坐标为：（﹣，﹣
）．
（4）如图，①当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则H（R﹣1，R）， 代入抛物线的表达式，解得
；
②当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则H（r﹣1，﹣r）， 代入抛物线的表达式，解得
∴圆的半径为
，
或
．
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