中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答) 联系客服

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【点评】本题是二次函数综合题,其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式,二次函数平移的规律,一次函数与二次函数的交点,三角形的内心,相似三角形的判定与性质等知识.综合性较强,有一定难度.利用数形结合与方程思想是解题的关键. 例9. 【考点】二次函数综合题.【专题】计算题;压轴题;数形结合. 【分析】(1)抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C,那么这两个函数的解析式中的常数项相同,即c=3,因此只需求出b的值即可;首先用b表示出抛物线的顶点坐标,而这个顶点恰好在直线CD上,因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值,由此得解.(2)△ABC的外心到三角形三个顶点的距离都相同,即为△ABC的外接圆半径;因此先设出该外心的坐标,然后表示出三个半径长,令它们相等即可,可据此思路解题.(3)四边形ACPB中,△ABC的面积是个定值,因此△CPB的面积最大时,四边形的面积最大;可以过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E,首先要求出线段PE的长度表达式,以PE为底、OB为高,即可得到△CPB的面积表达式,由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式,再根据函数的性质解题即可.

【解答】解:(1)∵二次函数:y=﹣x2+bx+c的图象与直线DC:y=x+3交于点C,∴c=3,C(0,3);二次函数 y=﹣x2+bx+3中,顶点D (,得:+3=

),代入直线DC y=x+3中,

,解得 b1=0(舍)、b2=2;故二次函数的解析式:y=﹣x2+2x+3.

(2)由(1)的抛物线解析式知:A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3);设△ABC的外心M

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(x,y),则:AM2=(x+1)+y、BM2=(x﹣3)+y、CM2=x2+(y﹣3);由于AM=BM=CM,所以有:

,解得

,此时 AM=BM=CM=

综上,△ABC的外接圆半径为,外心的坐标(1,1).

(3)如右图,过点P作PE∥y轴,交直线BC于点E;由B(3,0)、C(0,3)知,直线BC:y=﹣x+3;设点P(x,﹣x2+2x+3),则E(x,﹣x+3),PE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x;则S四边形ACPB=S△ACB+S△CPB=AB?OC+PE?OB=×4×3+×(﹣x2+3x)×3 =﹣(x﹣)2+

;综上,四边形ACPB的最大面积最大值为

【点评】此题主要考查的是:函数解析式的确定、三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识;(3)题的解法较多,还可以过点P作x轴的垂线,将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分,解此类题目要注意结合图形,找出相关图形间的面积和差关系,根据已知条件选择简便的解题方法.

变式练习:【考点】二次函数综合题.【分析】(1)把B(3,0)代入y﹣a(x﹣2)2+1,根据待定系数法可求抛物线的解析式;(2)①由三角形的三边关系可知,|PA﹣PC|<AC,当P、A、C三点共线时,|PA﹣PC|的值最大,为AC的长度,延长CA交直线x=2于点P,则点P为所求的点.求得A(1,0),C(0,﹣3),根据勾股定理可得AC的长.根据待定系数法可求直线AC的解析式,进一步得到点P的坐标,从而求解;②设直线x=2与x轴的交点为点D,作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1,P1 关于x轴的对称点为P2,则P1、P2均为所求的点.在Rt△ADE中,由勾股定理得EA的长,可得P1(2,﹣2﹣).由对称性得P2(2,2+). 【解答】解:(1)把B(3,0)代入y﹣a(x﹣2)2+1得a×(3﹣2)2+1=0,解得:a=﹣1.

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∴此抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+1=﹣x2+4x﹣3;

(2)①由三角形的三边关系可知,|PA﹣PC|<AC,∴当P、A、C三点共线时,|PA﹣PC|的值最大,为AC的长度,∴延长CA交直线x=2于点P,则点P为所求的点. 求得A(1,0),C(0,﹣3),则有OA=1,OC=3,∴AC=设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),则

,解得

=

∴直线AC的解析式为y=3x﹣3,∵抛物线y=﹣x2+4x﹣3的对称轴为直线x=2, ∴点P(2,m),∴m=3×2﹣3=3,∴当m=3时,|PA﹣PC|的值最大,最大值为.

②设直线x=2与x轴的交点为点D,作△ABC的外接圆⊙E与直线x=2位于x轴下方的部分的交点为P1,P1 关于x轴的对称点为P2,则P1、P2均为所求的点.∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所对的圆周角,∴∠AP1B=∠ACB,且射线DE 上的其它点P都不满足

∠APB=∠ACB.∵圆心E必在AB边的垂直平分线即直线x=2上.∴点E的横坐标为2. 又∵OB=OC=3,∴圆心E也在BC边的垂直平分线即直线y=﹣x上.∴E(2,﹣2). 在Rt△ADE中,DE=2,AD=AB=(OB﹣OA)=(3﹣1)=1, 由勾股定理得EA=

=

=

,∴EP1=EA=

,∴DP1=DE+EP1=2+

∴P1(2,﹣2﹣).由对称性得P2(2,2+). ∴符合题意的点P的坐标为P1(2,﹣2﹣)、P2(2,2+).

【点评】考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:待定系数法求抛物线的解析式,三角形的三边关系,勾股定理,待定系数法求直线的解析式,外接圆的性质,关于x轴的对称点的特征,以及对称性.综合性较强,有一定的难度. 中考题训练:【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题. 【分析】(1)已知抛物线的顶点坐标,可用顶点式设抛物线的解析式,然后将A点坐标代入其中,即可求出此二次函数的解析式;(2)根据抛物线的解析式,易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标,分别求出直线AB、BD、CE的解析式,再求出CE的长,与到抛物线的对称轴的距离相比较即可;(3)过P作y轴的平行线,交AC于Q;易求得直线AC的解析式,可设出P点的坐标,进而可表示出P、Q的纵坐标,也就得出了PQ的长;然后根据三角形面积的计算方法,可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标. 【解答】解:(1)设抛物线为y=a(x﹣4)2﹣1,∵抛物线经过点A(0,3), ∴3=a(0﹣4)2﹣1,

;∴抛物线为

时,x1=2,x2=6.

=

,BC=4,

(2)相交.证明:连接CE,则CE⊥BD,当

A(0,3),B(2,0),C(6,0),对称轴x=4,∴OB=2,AB=

∵AB⊥BD,∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,∴△AOB∽△BEC, ∴

=

,即

=

,解得CE=

,∵

>2,故抛物线的对称轴l与⊙C相交.

(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;可求出AC的解析式为

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设P点的坐标为(m,

),则Q点的坐标为(m,

);

∴PQ=﹣m+3﹣(m2﹣2m+3)=﹣m2+m.

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(﹣m2+m)×6=﹣(m﹣3)2+∴当m=3时,△PAC的面积最大为

).

;此时,P点的坐标为(3,

【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关

系、图形面积的求法等知识. 苏州中考题:(略)

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十、其它(如新定义型题等): 例10. 【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题;新定义.【分析】由抛物线的对称性可知,所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形,所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.又0<d<1,所以等腰直角三角形斜边的长小于2,所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1,即抛物线的定点纵坐标必定小于1.

【解答】解:直线l:y=x+b经过点M(0,),则b=;∴直线l:y=x+.由抛物线的对称性知:抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形;∴该等腰三角形的高等于斜边的一半.∵0<d<1,∴该等腰直角三角形的斜边长小于2,斜边上的高小于1(即抛物线的顶点纵坐标小于1);∵当x=1时,y1=×1+=y2=×2+=

<1,当x=2时,

<1,当x=3时,y3=×3+=>1,∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2.

),则d=1﹣

=

; )﹣1]=

①若B1为顶点,由B1(1,②若B2为顶点,由B2(2,综上所述,d的值为

),则d=1﹣[(2﹣

时,存在美丽抛物线.故选B.

【点评】考查了二次函数综合题,该题是新定义题型,重点在于读懂新定义或新名词的含义.利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键. 变式练习:1.【考点】二次函数综合题;切线的性质.【专题】综合题;压轴题. 【解答】解:(1)抛物线y=x2+2x﹣3中,x=0,则y=﹣3;y=0,则x=1或﹣3; ∴A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3);∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴D(﹣1,﹣4); 故A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3),D(﹣1,﹣4). (2)∵C(0,﹣3),D(﹣1,﹣4),∴直线CD:y=x﹣3;将直线CD向左平移两个单位,得:y=(x+2)﹣3=x﹣1,此时直线经过点B(1,0);联立抛物线的解析式有:

,解得

;∴F(﹣2,﹣3).

(3)过点P作y轴的平行线与BF交于点M,与x轴交于点H.易得F(﹣2,﹣3),直线BF:y=x﹣1.设P(x,x2+2x﹣3),则M(x,x﹣1),∴PM=﹣x2﹣x+2=﹣(x+)2+;PM的最大值是,此时x=﹣,当PM取最大值时△PBF的面积最大,S△PBF=S△PFM+S△PEM=

,△PFB的面积的最大值为

,P点坐标为:(﹣,﹣

).

(4)如图,①当直线GH在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则H(R﹣1,R), 代入抛物线的表达式,解得

②当直线GH在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),则H(r﹣1,﹣r), 代入抛物线的表达式,解得

∴圆的半径为

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