发布时间 : 星期四 文章第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测(六十一) 直接证明与间接证明、数学归纳法 Word版含答案更新完毕开始阅读2d436614f11dc281e53a580216fc700abb68528e
课时达标检测(六十一) 直接证明与间接证明、数学归纳法
1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，
b，c，d中至少有一个负数”的假设为( )
A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全都为正数 C．a，b，c，d全都为非负数 D．a，b，c，d中至多有一个负数
解析：选C 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．
2．用数学归纳法证明2＞2n＋1，n的第一个取值应是( ) A．1 B．2 C．3
1
n D．4
n解析：选C ∵n＝1时，2＝2,2×1＋1＝3,2＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立； n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
1111
3．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则( )
nn＋1n＋2n11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
23111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 234112
C．f(n)中共有n－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
231112
D．f(n)中共有n－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 234
1112
解析：选D 由f(n)可知，共有n－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.
234111
4．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
bcaA．都大于2
C．至少有一个不大于2
解析：选D ∵a＞0，b＞0，c＞0，
B．都小于2
D．至少有一个不小于2
?1??1??1??1??1?∴?a＋?＋?b＋?＋?c＋?＝?a＋?＋?b＋?＋ ?
b??
c??
a??
a??
b?
?c＋1?≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个?c???
不小于2.
5．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是( ) A．a>b>c C．c>a>b
解析：选A ∵a＝3－2＝
13＋2
B．b>c>a D．a>c>b ，b＝6－5＝
16＋5
，c＝7－6＝
17＋6
，
且7＋6>6＋5>3＋2>0，∴a>b>c.
一、选择题
?1?x?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，则1．已知函数f(x)＝??，a，b为正实数，A＝f???a＋b?
?2??2???
A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C C．B≤C≤A 解析：选A 因为≤f(ab)≤f?
B．A≤C≤B D．C≤B≤A
a＋b2
≥ab≥
2ab?1?x?a＋b?，又f(x)＝??在R上是单调减函数，故f??a＋b?2??2?
?2ab?，即A≤B≤C. ??a＋b?
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 C．恒为正值
B．恒等于零 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1) f(x2)<0. 3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a，c－b＝4－4a＋a，则a，b，c的大小关系是( ) A．c≥b>a C．c>b>a 2 2 2 2 B．a>c≥b D．a>c>b 2 解析：选A ∵c－b＝4－4a＋a＝(2－a)≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a， ?1?232222 即b＝1＋a.∵1＋a－a＝?a－?＋>0，∴1＋a>a.∴b＝1＋a>a.∴c≥b>a，故选A. ?2?4 4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( ) A．n＋1 C. B．2n D．n＋n＋1 2 n2＋n＋2 2 解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋ 6 ann＋ 2 ＝n2＋n＋2 2 个区域． 125 5．已知a，b∈R，m＝a＋1，n＝b－b＋，则下列结论正确的是( ) 36＋136A．m≤n C．m>n 6 a B．m≥n D．m 6 a1111251?3?2 解析：选A m＝a＋1＝2a＋2＝2a＝，n＝b－b＋＝?b－?＋－a≤2 36＋16＋166＋6363?2?261211 ≥，所以n≥m，故选A. 1212 6．设函数f(x)＝e＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若存在b∈使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是( ) A． C． xx B． D． 解析：选A 易知f(x)＝e＋x－a在定义域内是增函数，由f(f(b))＝b，猜想f(b)＝b. 反证法：若f(b)>b，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符， 若f(b) 即f(x)＝x在上有解． 所以e＋x－a＝x，a＝e－x＋x， 令g(x)＝e－x＋x，g′(x)＝e－2x＋1＝(e＋1)－2x， 当x∈时，e＋1≥2,2x≤2， 所以g′(x)≥0， 所以g(x)在上是增函数， 所以g(0)≤g(x)≤g(1)， 所以1≤g(x)≤e， 即1≤a≤e，故选A. 二、填空题 xx2 xx2 xx7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n＝础上加上的项为______________． 2 n4＋ n2 2 ，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基 解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k， 则当n＝k＋1时，左端为 1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1)， 故增加的项为(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1). 答案：(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋1) 8．已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________． 解析：由条件得cn＝an－bn＝n＋1－n＝∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1 9．对于问题：“已知关于x的不等式ax＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax－bx＋c>0”，给出如下一种解法： 解：由ax＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax－bx＋c>0的解集为(－2,1)． 参考上述解法，若关于x的不等式于x的不等式 1??1?x＋b?<0的解集为?－1，－?∪?，1?，则关3??2x＋ax＋c?? ＋ 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 n2＋1＋n， kkxbx＋1 ＋<0的解集为________． ax＋1cx＋1 xkxbx＋1k＋<0，可化为＋<0， ax＋1cx＋111 a＋c＋xxb＋ 1 解析：不等式 1111 故得－1<<－或<<1， x32x解得－3 kxbx＋1 ＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． ax＋1cx＋1 答案：(－3，－1)∪(1,2) 10．若二次函数f(x)＝4x－2(p－2)x－2p－p＋1，在区间内至少存在一点c，使 2 2 f(c)>0，则实数p的取值范围是________． 解析：依题意有f(－1)>0或f(1)>0， 所以－2p＋p＋1>0或－2p－3p＋9>0， 2 2