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第一章 质点运动学
1 -1 质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为v,平均速率为v． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr｜= Δs = Δr
(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= ds ≠ dr (C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜dr｜= dr ≠ ds (D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜dr｜= dr = ds (2) 根据上述情况,则必有( )
(A) ｜v｜= v,｜v｜= v (B) ｜v｜≠v,｜v｜≠ v (C) ｜v｜= v,｜v｜≠ v (D) ｜v｜≠v,｜v｜= v
分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)． (2) 由于｜Δr｜≠Δs,故
ΔrΔs,即｜v｜≠v． ?ΔtΔt但由于｜dr｜＝ds,故
drds?,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)． dtdt1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
drdrds?dx??dy?(1)； (2)； (3)； (4)?????．
dtdtdt?dt??dt?下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确
22(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确
dr表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常dtdr用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中
dt分析与解
ds?dx??dy?速度大小可用公式v?计算,在直角坐标系中则可由公式v??????求解．故
dt?dt??dt?选(D)．
1 -3 质点作曲线运动,r表示位置矢量,v表示速度,a表示加速度,s表示路程, aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即
(1)dv /dt＝a；(2)dr/dt＝v；(3)ds/dt＝v；(4)dv /dt｜＝aｔ． 下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的
22dv表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方dtdr向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1 -2 所述)；
dt分析与解
dsdv在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因
dtdt此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)． 1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
1 -5 已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为x?2?6t2?2t3,式中x 的单位为m,t的单位为 s．求：
(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程；
(3) t＝4 s时质点的速度和加速度．
分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx的大小可直接由运动方程得到：
Δx?xt?x0,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移
的大小和路程就不同了．为此,需根据
dx?0来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～tp和dttp～t内的位移大小Δx1、Δx2,则t 时间内的路程s??x1??x2,如图所示,至于t＝4.0 s 时质点
dxd2x速度和加速度可用和2两式计算．
dtdt
题 1-5 图
解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小
Δx?x4?x0??32m
(2) 由
dx?0 dttp?2s (t＝0不合题意)
得知质点的换向时刻为
则
Δx1?x2?x0?8.0m
Δx2?x4?x2??40m
所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为
s?Δx1?Δx2?48m
(3) t＝4.0 s时
v?dx??48m?s?1
dtt?4.0sd2xa?2??36m.s?2
dtt?4.0s1 -6 已知质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j,式中r的单位为m,t的单位为ｓ．求： (1) 质点的运动轨迹；
(2) t＝0 及t＝2ｓ时,质点的位矢；
(3) 由t＝0 到t＝2ｓ内质点的位移Δr和径向增量Δr；
分析 质点的轨迹方程为y＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs来说,物理含义不同,(详见题1-1分析). 解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为
2y?2?12x 4这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．
(2) 将t＝0ｓ和t＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为
r0?2j , r2?4i?2j
图(a)中的P、Q 两点,即为t＝0ｓ和t＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得
Δr?r2?r1?(x2?x0)i?(y2?y0)j?4i?2j
其中位移大小Δr?(Δx)2?(Δy)2?5.66m
2222x2?y2?x0?y0?2.47m
而径向增量Δr?Δr?r2?r0?
题 1-6 图
1 -7 质点的运动方程为
x??10t?30t2
y?15t?20t2
式中x,y的单位为m,t的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．
分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向． 解 (1) 速度的分量式为
vx?dx??10?60t dtdyvy??15?40t
dt22当t＝0 时,v0x＝-10 m·ｓ-1 ,v0y＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为
v0?v0x?v0y?18.0m?s?1
设v0与x轴的夹角为α,则
tanα?v0yv0x3??
2α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为