发布时间 : 星期三 文章高考必备-2020年高考理科数学大一轮提分讲义第4章 第6节 正弦定理、余弦定理更新完毕开始阅读2d9a822a541252d380eb6294dd88d0d233d43ce2
示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
[教师备选例题] 已知△ABC的面积为33，AC＝23，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°. (1)求AB的长； (2)求△ACD的面积． 1[解] (1)因为S△ABC＝2×6×23×sin∠ACB＝33， 1所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°， 2又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°， 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB＝84＝221. (2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°， 所以∠CAD＝105°， 由正弦定理得AC＝， sin∠CADsin∠ADCCD所以CD＝3＋3， 又∠ACD＝180°－150°＝30°， 1113（3＋1）所以S△ACD＝2AC·CD·sin∠ACD＝2×23×(3＋3)×2＝. 2 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b
π
＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
3
π
63 [法一：因为a＝2c，b＝6，B＝3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos π
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos 3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的
9
11π
面积S＝acsin B＝×43×23×sin ＝63.
223
π
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，π
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos 3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，π1
所以A＝2，所以△ABC的面积S＝2×23×6＝63.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；
a2
(2)若△ABC的面积S＝4，求角A的大小．
[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. a21a2
(2)由S＝4，得2absin C＝4，
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故有sin Bsin C＝2sin A＝2sin 2B＝sin Bcos B， 由sin B≠0，得sin C＝cos B. π
又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.
2ππ
当B＋C＝2时，A＝2； ππ
当C－B＝2时，A＝4.
10
ππ
综上，A＝或A＝.
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考点3 判断三角形的形状 判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos
B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不确定
B [由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1， π
即A＝2，∴△ABC为直角三角形．] [母题探究] 1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状． [解] ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)， ∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin(A－B)＝0. 又A，B为△ABC的内角． ∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形． 11
2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状． a2＋b2－c21[解] ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝2ab＝2， π又0＜C＜π，∴C＝3， 又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B， 故△ABC为等边三角形． 在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含
条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
sin Aa
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B＝c，(b
＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
sin Aaaa
C [因为sin B＝c，所以b＝c.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2bc1π
b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝2bc＝2bc＝2.因为A∈(0，π)，所以A＝3.所以△ABC是等边三角形．]
ab
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＋sin A＝2c，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 C．等腰直角三角形
B．锐角三角形 D．钝角三角形
absin Asin B
C [因为sin B＋sin A＝2c，所以由正弦定理可得sin B＋sin A＝2sin C，而
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