发布时间 : 星期二 文章南京大学1998--2005考研《量子力学》真题更新完毕开始阅读2dd2e23583c4bb4cf7ecd186
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0x?00?x?a x?a在E?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
?2是角动量平方算符，??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p? 。
2（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）e???i?p?e????xj?e????i?????xpj?1i?2 ？式中i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。
???'??x,p?xf?x??p?x??p?xf(x) ？式中px?（2）?p ，
i?xi2??p????r??H??Vr（3）系统的哈密顿算符为 ，设n?是归一化的束缚态波函数，则有：
2???2p1???n?n??nr??V?r??n ？
2?2??H??H? ，其中（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为H1lsB??Hls??eB??1dV???LZ?2SZ ， ?L?S ，HB?22?2?c2?c?rdr?1??当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函
数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： Ylm?0?2l?1??l?m?!im???cos?e
4??l?m?!Plm1121/221/2??x?x????????x x?1?xx?31?x；；P1P1P2 P2?x??3?1?x2?
2
南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学
专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理
2 (20分) 一、 t＝0时，粒子的状态为?(x)?A[sinkx]，求此时动量的可能测值和相应的几
率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动
(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动：
?0V(?)????(0????0)(?0???2?)
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
3?2?2(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量 ，如微扰哈密顿H1?bxy，2ma试求对能量的一级修正(式中b为常数)。
(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本
征值(A和B是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
?(x)?Nxexp(??x2)exp(ip0x/h)； ?(p)?c(p?p0)exp[?b(p?p0)2]
式中N、?、c、b和p0都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,?x?t?0????表示力学量算符A?的平均值）?p?t?0??，（?A。
*
??0x2e?axdx?21?
4aa
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学
专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
?xm???12e一. 一维谐振子处在?(x)?状态, ??, 求: 1/2??22(1) 势能的平均值 (7分)
(2) 动能的几率分布函数 (7分) (3) 动能的平均值 (7分) 提示:
?????e?(x?i?)2dx??
x?0???二. 质量为m的粒子在一维势场V(x)??0 0?x?a中运动,求,
?Vx?a?0(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)
(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)
??x?0,x?a三. 质量为m的粒子在一维势场V(x)?? 中运动,其中c是小的实常
cx0?x?a?数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量. (20分)
1四. 两个自旋的非全同粒子系的哈密顿量
2???????J[S(1)?SH(2)] Js?0
?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 求Hs
?五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级
的分裂情况. (10分)
??(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求n=2能级的分
裂情况. (9分)
提示:
200z210??3a
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学
专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等
??,x?0;x?a一、有一质量为?的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V?x???，在t=0时
0,0?x?a??0,x?0;x?a刻，粒子的状态由波函数??x???描述。求： （20分）
Ax(a?x),0?x?a?1.
2. 3. 4.
归一化常数A;
粒子能量的平均值；
t=0时刻，粒子能量的几率分布；
人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
1?4?提示：? 496n?1,3,5???n?V,x?0二、考虑势能为V?x???0的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从x????0,x?0处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分）
1p222三、有一质量为?的粒子，在一维谐振子势场V?x????x中运动。在动能T?的非相对
22?论极限下，基态能E0?1??????2???，基态波函数为?0?x???expx?。考虑T与p????2?????2??141阶。（c为光速）（20分） c2四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）
的关系的相对论修正，计算基态能级的移动?E至
MeV,?c?197MeV?fm，晶格常数a?1A 提示：电子质量mc?0.5111?的系统， 220五、考虑自旋S???BS?的本征值和归一化本征波函数；??AS1．求算符T（A、B为实常数） yz???的某一个本征态上，求此时测量S?结果为?2．若此时系统正处在T（20分） ???的几率。y2??