发布时间 : 星期三 文章南京大学1998--2005考研《量子力学》真题更新完毕开始阅读2dd2e23583c4bb4cf7ecd186
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
2一、 一维自由粒子的状态由波函数??x??sinkx?1coskx描述。求粒子的动量平均值和动2能平均值。(20分) 二、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动
?0,0????01)设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动,即V?????,
??,?0???2?求解粒子的能量本征值和本征函数;
2)设粒子处在上述情形的基态,现突然撤去“路障”,问撤去“路障”后,粒子仍然处在最低能量态的几率是多少? (20分)
1???u?1?2u?2u提示:在柱坐标系下?u?????2?2 ??2???????????z2?????????是Na,a?1??N?aa三、 设算符且?,证明:如果的本征函数,对应的本征值为?,??的本征函数,对应的本征值为??1,而波函数??a??也是N???也那么,波函数?1?a2?的本征函数,对应的本征值为??1。是N(20分)
?0,0?x,y?a四、 一个粒子在二维无限深势阱V?x???中运动,设加上微扰H1??xy
?,elsewhere??0?x,y?a?,求基态和第一激发态的一阶能量修正(20分)
??1??五、 若电子处于Sz的本征态,试证在此态中,Sy取值为?或的几率各为。(20分)
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南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学
专 业: 理论物理,凝聚态物理
一、一个质量为?的粒子处于一维谐振子势V?x??率。如果t?0时,该粒子处于态??x,0??1??2x2中运动,?为谐振子的本征振动频21?0?x??c?2?x?,其中?0?x?和?2?x?分别为3一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数,c为待定常数且c?0。 1) 根据归一化条件,求待定常数c;(5分) 2) 求t时刻粒子所处的状态??x,t?;(5分)
3) 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率; (10分) 4) 求粒子能量的平均值; (5分)
15) 若在t??时刻,粒子所处的势场突然变为V'?x????2x2,求粒子在?时刻处于新的
3势场 V'?x?的第一激发态的几率。 (5分)
二、一根长为l的无质量的绳子一端固定,另一端系质点m。在重力作用下,质点在竖直平面内摆动,
1)写出质点运动的哈密顿量; (10分) 2)在小角近似下求系统的能级; (10分)
3)求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 (10分)
?1?提示:质量为m,本征频率为?的一维谐振子的基态波函数为?0?x??Cexp???2x2?,
?2?其中C是归一化常数,????m?;?exp??x2?dx??。
???三、质量为?的粒子从左向右作一维运动,穿越了一个宽度为a,高度为V0的一维势垒
|?|a/2?0 x。设粒子的能量E?V0。试求发生共振透射(即透射系数为1)的V?x???V |x?|a/2?0条件。(30分)
???四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H?A?S1z?S2z??BS1?S2描述,其中S1和分
别是两个粒子的自旋,而S1z和S2z则分别是这两个粒子自旋的z分量,A和B是实常数。求该哈密顿量的所有能级。
(30分)
五、一个质量为?,带电荷为q的粒子,束缚在宽度为a的一维无限深势阱
?0 |x|?a/2中运动。如果在入射光的照射下,该粒子能在不同能级间发生偶极V?x????? |x|?a/2辐射跃迁,求跃迁的选择规则。 (30分)
六、两个粒子被束缚在一个边长为a?b?c的长方体盒子中运动,粒子间的相互作用势能为
??????V?x1,x2??A??x1?x2?可以作为微扰,其中x1和x2分别为两个粒子的坐标,A为实常数。
分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量,要求准至A的一次方。 1)两个粒子为自旋为零的全同玻色子; (15分)
2)两个粒子为自旋为1/2的全同费米子,且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。(15分)
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、已知电子质量为?,电子电量为(-e),回答以下问题:
1) 一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动,请写出该体系的能级公式;(5
分)
2) 五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动,不考虑电子和电子之间的库仑相互作用,请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。(10分)
13) 一个电子处于一维谐振子势场??2x2中运动,其中?是谐振子的本征园频率,x是电
2子的坐标,请写出该体系的能级公式。(5分)
4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动,并且假定电子恰好处在某个能量本征态上,求电子的坐标和动量的平均值,这些平均值随时间变化么?(10分) 5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数,这里假定原子核是不动的;(10分)
e26) 假定氢原子处于基态,求电子势能?的平均值,其中r是电子的径向坐标。(10分)
r二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为:?(r,?,?)?(ei?sin??cos?)g(r),其中g(r)仅是
?2的可能测量值和相应的几率;径向坐标r的函数。1)求角动量平方L(10分)2)求角动
?的可能测量值和平均值。量的z分量L(10分) z三、S代表电子的自旋算符,n?(sin?cos?,sin?sin?,cos?)为从原点指向单位球面上(?,?)方
向上的单位向量,其中?是纬度,?是经度。
1) 在(S2,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn?n?S的本征值和相应的本征波函数。
(10分)
2) 假定电子处于Sn的某个本征态,那么测量Sz会得到哪些数值,相应的几率是多少,测
量Sz的平均值又是多少?(10分)
四、一个质量为m,无电荷但自旋为1/2,磁矩为???2?0s的粒子在一维无限深势阱???0; x?LV(x)??中运动,其中?0和L是正常数,x是粒子的坐标,s是粒子的自旋算符。
????; x?L现在考虑在x?0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场,其大小为B,而在x?0的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数,并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。(微扰只须计算到最低阶,自选空间的波函数在Pauli表象下写出。)(30分)