发布时间 : 星期三 文章南京大学1998--2005考研《量子力学》真题更新完毕开始阅读2dd2e23583c4bb4cf7ecd186
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
2一、 一维自由粒子的状态由波函数??x??sinkx?1coskx描述。求粒子的动量平均值和动2能平均值。（20分） 二、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动
?0,0????01）设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动，即V?????，
??,?0???2?求解粒子的能量本征值和本征函数；
2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在最低能量态的几率是多少？ （20分）
1???u?1?2u?2u提示：在柱坐标系下?u?????2?2 ??2???????????z2?????????是Na,a?1??N?aa三、 设算符且?，证明：如果的本征函数，对应的本征值为?，??的本征函数，对应的本征值为??1，而波函数??a??也是N???也那么，波函数?1?a2?的本征函数，对应的本征值为??1。是N（20分）
?0,0?x,y?a四、 一个粒子在二维无限深势阱V?x???中运动，设加上微扰H1??xy
?,elsewhere??0?x,y?a?，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
??1??五、 若电子处于Sz的本征态，试证在此态中，Sy取值为?或的几率各为。（20分）
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南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学
专 业: 理论物理,凝聚态物理
一、一个质量为?的粒子处于一维谐振子势V?x??率。如果t?0时，该粒子处于态??x,0??1??2x2中运动，?为谐振子的本征振动频21?0?x??c?2?x?，其中?0?x?和?2?x?分别为3一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c为待定常数且c?0。 1） 根据归一化条件，求待定常数c；（5分） 2） 求t时刻粒子所处的状态??x,t?；（5分）
3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； （10分） 4） 求粒子能量的平均值； （5分）
15） 若在t??时刻，粒子所处的势场突然变为V'?x????2x2，求粒子在?时刻处于新的
3势场 V'?x?的第一激发态的几率。 （5分）
二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，
1）写出质点运动的哈密顿量； （10分） 2）在小角近似下求系统的能级； （10分）
3）求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 （10分）
?1?提示：质量为m，本征频率为?的一维谐振子的基态波函数为?0?x??Cexp???2x2?，
?2?其中C是归一化常数，????m?；?exp??x2?dx??。
???三、质量为?的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为V0的一维势垒
|?|a/2?0 x。设粒子的能量E?V0。试求发生共振透射（即透射系数为1）的V?x???V |x?|a/2?0条件。（30分）
???四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H?A?S1z?S2z??BS1?S2描述，其中S1和分
别是两个粒子的自旋，而S1z和S2z则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实常数。求该哈密顿量的所有能级。
（30分）
五、一个质量为?，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为a的一维无限深势阱
?0 |x|?a/2中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极V?x????? |x|?a/2辐射跃迁，求跃迁的选择规则。 （30分）
六、两个粒子被束缚在一个边长为a?b?c的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
??????V?x1,x2??A??x1?x2?可以作为微扰，其中x1和x2分别为两个粒子的坐标，A为实常数。
分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。 1）两个粒子为自旋为零的全同玻色子； （15分）
2）两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15分）
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、已知电子质量为?，电子电量为(-e)，回答以下问题：
1) 一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5
分）
2) 五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分）
13) 一个电子处于一维谐振子势场??2x2中运动，其中?是谐振子的本征园频率，x是电
2子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）
4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分） 5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分）
e26) 假定氢原子处于基态，求电子势能?的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）
r二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：?(r,?,?)?(ei?sin??cos?)g(r)，其中g(r)仅是
?2的可能测量值和相应的几率；径向坐标r的函数。1）求角动量平方L（10分）2）求角动
?的可能测量值和平均值。量的z分量L（10分） z三、S代表电子的自旋算符，n?(sin?cos?,sin?sin?,cos?)为从原点指向单位球面上(?,?)方
向上的单位向量，其中?是纬度，?是经度。
1) 在(S2,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn?n?S的本征值和相应的本征波函数。
（10分）
2) 假定电子处于Sn的某个本征态，那么测量Sz会得到哪些数值，相应的几率是多少，测
量Sz的平均值又是多少？（10分）
四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为???2?0s的粒子在一维无限深势阱???0; x?LV(x)??中运动，其中?0和L是正常数，x是粒子的坐标，s是粒子的自旋算符。
????; x?L现在考虑在x?0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在x?0的半空间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分）