发布时间 : 星期二 文章大学物理实验电子书（一）更新完毕开始阅读2e0233340912a21614792975
??22?A??B
（8）
① 多次测量的不确定度计算。在物理实验教学中，当对某一物理量进行多次直接测量后，我们约定取
?A??X ?B??仪＝?仪3
（9） （10）
即取多次重复测量的平均值的标准误差为不确定度A类分量，取仪器的标准误差为不确定 度B类分量，则
2 ?x??2 A??Bn?(?Xi)?i?12n(n?1)?(?仪）32 （11）
② 单次测量的不确定度计算。对单次测量，不存在不确定度的A类分量，而B类分量可取为仪器的最大误差，为
?x??B??仪
（12）
有时，式（12）算出的单次测量的不确定度可能会小于用式（11）算出的多次测量的不确定度，但这并非说明单次测量反而比多次测量准确。实际上，两者的“置信概率”不等，即在所计算出的不确定度内包含真值的概率不等。另外，多次测量后如果测量列中各数据基本一样或完全相同。这并不能说明测量得非常准确，以至于不存在不确定度的A类分量，而只说明仪器的精度太低，多次测量已没有意义，在这种情况下取?x??B??仪是合理的选择。
6）相对误差与相对不确定度
上面所讲的标准误差、仪器误差等都是以误差的绝对大小来反映误差情况的，它们与被测量有相同的单位，称为绝对误差。但是，为了更全面地评定测量结果的优劣，还需考虑这一绝对误差对测量值本身的大小产生的相对影响，为此，引入相对误差的概念。
相对误差＝绝对误差测量值
（13）
即
E??XX
当待测量有公认值或理论值时，为衡量实验结果的优劣，可将测量值与公认值或理论值进行比较，用百分误差表示实验的误差情况，可写为
百分误差＝|测量值－公认值|公认值|X?X0|X0?100%
即
E0??100%
与误差情况类似，为了更全面、准确地反映实验的精度，还需考虑“相对不确定度”，它实际上就是相对误差范围的估计值。
相对不确定度＝不确定度测量值
9
即
E??xX （14）
1.1.3 间接测量的结果与不确定度的合成
1）间接测量的结果与误差的传递
物理实验中的大部分物理量都需由间接计算得到，即在直接测量的基础上，通过一定的函数运算得到。显然，将各直接测量的结果（多次测量的平均值或单次测量的测量值）代入相应的测量公式就可得到所谓“间接测量的结果”。用x、y、z、?表示各独立的直接测量量，
N表示间接测量量，则可表示为
N?f(x,y,z,?)
（15）
由于各直接测量量都带有一定的误差，所以在此基础上得到的间接测量量也必然带有误差，这就是“误差的传递”问题。
当各直接测量量的绝对误差分别是?x、?y、?z、?时，间接测量量的误差?N如何呢?为回答这一问题，可考虑对上式进行全微分，即
dN??f?xdx??f?ydy??f?zdz??
（16）
众所周知，上式的数学意义是当x、y、z?分别有微小偏差dx、dy、dz、?时，N有相应的偏差dN。由于一般情况下，误差远小于测量值，故可将dx、dy、dz、?视为各直接测量量的误差?x、?y、?z、，而将dN视为间接测量的误差?N，则有 ?，?N??f?x?x??f?y?y??f?z?z?? （17）
上式可视为误差传递的基本公式。
若先对式（15）取自然对数后再全微分，则
lnN?lnf(x,y,z,?)
dNN??lnf?xdx??lnf?ydy??lnf?zdz??
同理可得
?N??lnf???lnf???lnf?????y????x????z?? N?x?y?z?????? （18）
上式可视为相对误差的基本传递公式。
2）间接测量量的不确定度的合成
当我们用不确定度来反映测量的误差情况时，上面的误差传递问题实际上也就是不确定度的传递问题，或者也可以说，是不确定度的合成问题，因为从上面讨论的公式来看，间接测量量的不确定度总是由各个独立的直接测量量的不确定度合成的，但具体的合成方法不止一种。
（1）不确定度的绝对值合成法——不确定度合成公式之一。间接测量的不确定度就是对间接测量误差的一种测度，当我们不知道各直接测量量的误差的符号时，为避免对间接测量的误差估算不足，最保险的办法是将式（17）或式（18）中各项取绝对值，分别用不确定
?替换误差?x、?y、?z、度?x、?y、?z、?由此得到的不确定度的合成公式为
10
?N??f?x?x??f?y?y??f?z?z??
（19）
?NN??lnf?x?x??lnf?y?y??lnf?z?z??
（20）
这种合成过程计算较简便，但计算结果往往偏大。一般适用于仪器较粗糙，实验精确度较低，系统误差较大的实验。
（2）不确定度的方和根合成法——不确定度合成公式之二。对仪器精度较高，系统误差较小的实验，考虑不确定度的合成时，则应注意到，事实上各分项误差的符号总有正有负，它们传递给间接测量量时总会抵消一部分，所以，上面的不确定度合成公式夸大了间接测量量的不确定度。
对以随机误差为主的不确定度的传递问题，更合理的合成方法是方和根合成法。即用以下两个公式计算问接测量量的不确定度和相对不确定度，即
?N???f?2??f?2??f?2??y?????x????z??
?x?y?z??????222222 （21）
?NN???lnf?2??lnf?2??lnf?2??y?????x????z?? ?y?z??x????? （22）
为较科学地反映实验中的误差和不确定度情况，考虑到物理实验是基础课程的特殊性，
?。建议一般采用方和根合成法计算间接测量量的不确定度?x、?y、?z、计算过程分为三步：
?。 ① 先分析确定各直接测量量的不确定度?x、?y、?z、② 根据函数关系N?f(x,y,z、。 ?)写出N的全微分式（16）
③ 用式（21）或式（22）计算N的不确定度?N或相对不确定度?N/N。
例1．1 用不确定度的方和根合成法推导加减运算和乘除运算的不确定度的合成公式 解
2??y，而 （1）设N?x?y，则dN?dx?dy，应有?N??2x?NN??x??yx?y22 2??y，而 （2）设N?x?y，则dN?dx?dy，仍有?N??2x?NN??x??yx?y22
222?y??yx，而 （3）设N?xy，则dN?(dx)y?(dy)x，应有?N??2x?NN???y???x???? ??y?x???22 11
或 因
lnN?lnx?lny ?lnx?x?1x,?lny?y2?1y
2故
x
1y2?NN???y???x???? ???x??y? （4）设N?y,则dN?(ydx?xdy)，应有 ?N?1y2(?xy)?(?yx)2222 而 或 故
?NN???y???x???? ???x??y?lnN?lnx?lny ?NN??y???x???? ??y?x???22?一般函数的不确定度合成公式也可用相类似的方法得到，现将一些常用的不确定度的方和根合成公式列入表l－1中。
表1－1 常用函数的不确定度传递公式
从上面的讨论中可以看出：
① 对加减运算，总是先算不确定度，而对乘除运算，总是先算相对不确定度较方便。 ② 和差的不确定度的平方总是等于参与运算的各量的不确定度的平方和。
③ 积商的相对不确定度的平方总是等于参与运算的各量的相对不确定度的平方和。 以上所述的加减运算或乘除运算，均指独立测量量间的运算，若是稍复杂些的四则运算，或一般的函数运算，则应根据式（19）、（20）和（21）、（22）进行运算。
例1．2 设N?解
x?yx?y，试用方和根合成法推导不确定度传递公式。
?N?x?x?y?x?y(x?y)2 ??2y(x?y)2
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