发布时间 : 星期三 文章2020学年新教材高中物理第7章万有引力与宇宙航行3万有引力理论的成就学案新人教版必修第二册更新完毕开始阅读2e1091bcb80d4a7302768e9951e79b896902681a
天体质量和密度的计算方法
情景 重力加速度法 已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g 物体在天体表面的重力近似等环绕法 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 行星或卫星受到的万有引力充当向思路 于天体与物体间的万有引力：Mmmg＝G2 R天体 质量 天体 密度 Mm2π2心力：G2＝m()r(以T为例) rTgR2天体质量：M＝ Gρ＝M3g＝ 4πRG34πr中心天体质量：M＝2 23GT4πR3ρ＝M43πR33πr＝23 3GTRg为天体表面重力加速度，未说明 知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动
这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量 T为公转周期 r为轨道半径 R为中心天体半径 (2019·潍坊一中期末)假设在半径为R的某
天体上发射一颗该天体的卫星，已知引力常量为G，忽略该天体自转.
(1)若卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T1，则该天体的密度是多少？
(2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2，则该天体的密度是多少？
3π?R＋h?3π
答案 (1) (2)232
3
GT1RGT2
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M. (1)卫星距天体表面的高度为h时，
223
Mm4π4π?R＋h?G(R＋h)，则有M＝ 2＝m?R＋h?T2GT211
43天体的体积为V＝πR
3
M4π2?R＋h?33π?R＋h?3
故该天体的密度为ρ＝＝＝ 3
V43GT21R2
GT1·πR3
23
Mm4π24πR(2)卫星贴近天体表面运动时有G2＝m2R，则有M＝
RT2GT2223
M4πR3πρ＝＝＝2.
V43GT2
GT22·πR3
针对训练 (2019·醴陵二中期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆1
周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的
20比值约为( ) 1
A.B.1C.5D.10 10答案 B
Mm4π2r3
解析 由G2＝m2r得M∝2 rTT已知r511T514M恒133652
＝，＝，则＝()×()≈1，B项正确. r地20T地365M太204
(2019·临夏中学期末)若有一星球密度与地
球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球质量是地球质量的( )
A.27倍B.3倍C.0.5倍D.9倍 答案 A
解析 物体在地球表面的重力近似等于地球与物体间的万有引力，即G2＝mg，解得g＝2，434
质量M＝ρ·πR，联立解得g＝πGρR，星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加
3343
速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，由M＝ρ·πR可
3知，星球质量是地球质量的27倍，故A正确. 二、天体运动的分析与计算
1.一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供.
2
Mmv24π2
基本公式：G2＝man＝m＝mωr＝m2r.
rrTMmRGMR2.忽略自转时，mg＝G2，整理可得：GM＝gR.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用
MmR2
gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换式”.
3.天体运动的物理量与轨道半径的关系
Mmv2
(1)由G2＝m得v＝
rrMmr2
GM. rGM. r3
(2)由G2＝mωr得ω＝Mm?2π?2
(3)由G2＝m??r得T＝2π
r?T?
(4)由G2＝man得an＝2.
r3
. GMMmrGMr由以上关系式可知：①卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小.
②卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢.
在轨卫星碰撞产生的大量碎片会影响太空环
境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )
A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D
Mmv2
解析 由G2＝m，得v＝
rr＝mr4π
2
GMMm，甲的运行速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G2rrT2，得T＝4πr23
GM，可知甲的周期短，故A错；由于两碎片的质量未知，无法判断
向心力的大小，故C错；由GMmGM2＝man得an＝2，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对. rr