发布时间 : 星期日 文章山东省济宁一中2020年高考数学(人教A版选修2-3)第一轮复习教学案：第二章 随机变量及其分布(2)更新完毕开始阅读2e64b4476429647d27284b73f242336c1fb9306d
语成绩记为x，数学成绩记为y. (1) x?1的概率是多少？x?3且y?3的 概率是多少？ (2) 若y的期望为
语 4 3 2 1 1 2 1 0 0 1 b 0 7 0 6 1 5 9 0 1 1 3 a 3 133，试确定a,b的值. 50例3．设l为平面上过点（0,1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3,?55,0,,3,22，22用X表示坐标原点到直线l的距离，求随机变量X的数学期望EX。
［剖析］由于题设条件中直线l的斜率是等可能地取到的，因此可以将此题看作是等可能事件的概率问题，从而分别计算同当直线l的斜率取?22,?3,?55,0,,3,22时X的22取值，根据等可能事件的计算公式可得分布列，从而计算数学期望。
［解］当直线l的斜率取?22时，直线方程为?22x?y?1?0，此时坐标原点到直线l的距离d为
5112；当k??3时，d为；当k??时，d为；当k?0时，d为1.
2323因此由等可能事件的概率可得分布列如下： 121 23221 77712122214所以所求的随机变量X的数学期望为EX???????1??.
37273777［警示］本题主要考查了以解析几何为载体等可能事件的主随机变量的数学期望。求离散型
随机的分布列的关键是过好四关：（1）过好题目理解关：要抓住关键字句，尽可能转化为自己熟悉的数学模型；（2）过好随机变量取值关：准确无误地找到随机变量的所有可能的取值，特别是注意能否取0；（3）过好事件类型关：概率分布通常由等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验等引起的，在计算相应概率前要先确定事件的类型，尤其注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别；（4）过好概率运算关：运用公式P(A)?X 1 3P 2 7m， nkkP(A?B)?P(A)?P(B),P(A?B)?P(A)?P(B),P(x?k)?Cnp(1?p)n?k(k?0,1,L,n)时要注意准确无误。 ［变式训练］
3. （）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是,,.
（I）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
（II）用?表示投篮3次的进球数，求随机变量?的概率分布及数学期望E?.
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例4．设掷两枚骰子，它们的各面均分别刻有1,2,2,3,3,3. （1）设X是掷得的点数之和，求EX；
（2）设Y是掷得点数差的绝对值，求EY,DY.
［剖析］找到随机变量所有可能的取值是解决本题的关键所在，在第（1）题中，由于“X是掷得的点数之和”，从而X所有可能的取值应为2,3，4,5，6；而在第（2）题中，“Y是掷得点数差的绝对值”，因此不可能有负数的产生，从而Y的所有可能的取值是：0,1，2。 ［解］设X0表示投掷一枚骰子所得的点数，则X0的分布列为
X0 1 2 3 P （1）X的分布列为
123 6663 4 5 6 X 2 P 1410129 3636363636141012914从而EX??2??3??4??5??6?.
36363636363（2）Y的分布列为
1 2 Y 0 P 14166 363636141667EY?0??1??2??.
36363697147167641DY?(0?)2??(1?)2??(2?)2??.
93693693681［警示］本题随机变量的分布列是比较难求的，一般先算出随机变量出现的可能次数，再算出总次数。要具体解决题，应将复杂的问题进行分解，先研究掷一个骰子所得的点数X0的分布列，然后在此基础上研究整个问题。
［变式训练］ 4．
例5．若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0 （1）求方差Dξ的最大值； 2D??1（2）求的最大值. E?2D??1［剖析］要求Dξ、的最大值，需求Dξ、Eξ关于p的函数式，故需先求ξ的分 E?布列. ［解］随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1－p，从而Eξ=0×（1－p）+1×p=p，Dξ=（0－p）2×（1－p）+（1－p）2×p=p－p2. 11（1）Dξ=p－p2=－（p－）2+， 24∵0 11时，Dξ取得最大值为. 242D??12(p?p2)?111（2）==2－（2p+），∵0 pE?pp当且仅当2p= 2D??112，即p=时，取得最大值2－22. E?2p2［警示］本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的关系，即D??E??E?，并将 概率统计问题与不等式问题巧妙地结合在一起进行考查，像这种在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视。 ［变式训练］ 5．（2020年广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以?表示取球结束时已取到白球的次数． （Ⅰ）求?的分布列； （Ⅱ）求?的数学期望． 例6．（2020年辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2 111、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整623有关,在每次调整中价格下降的概率都是p(0?p?1),设乙项目产品价格在一年内进行2次 万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为?,对乙项目每投资十万元, ?取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量?1、?2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求?1、?2的概率分布和数学期望E?1、E?2; (II) 当E?1?E?2时,求p的取值范围. ［剖析］由题意可知?服从二项分布，为此只需计算出E?与E?1、E?2其中的一个即可得另一的值。 ［解］(I)解法一: ?1的概率分布为 ?1 P 1.2 1.18 1.17 1 61 21 3111+1.18?+1.17?=1.18. 623由题设得?~B(2,p),则?的概率分布为 E?1=1.2?? P 故?2的概率分布为 0 1 2 (1?p)2 2p(1?p) p2 1.3 1.25 0.2 ? P 所以?2的数学期望为 (1?p)2 2p(1?p) p2 222E?2=1.3?(1?p)+1.25?2p(1?p)+0.2?p=?p?0.1p?1.3. 解法二: ?1的概率分布为 ?1 P 1.2 1.18 1.17 1 61 21 3E?1=1.2?111+1.18?+1.17?=1.18. 623设Ai表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则 2P(?=0)= P(A1)P(A2)?(1?p); P(?=1)=P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)?2p(1?p); 2P(?=2)=P(A1)P(A2)?p 故?2的概率分布为 ? P 1.3 1.25 0.2 (1?p)2 2p(1?p) p2