发布时间 : 星期日 文章近世代数教案更新完毕开始阅读2e73b24a50e2524de5187ef8
2.5 Hamilton四元数环
复习引入：复数域是最大的数域，现在我们提出下面的问题：从数域扩充的观点看复数域是否还存在另外意义之下的数系扩充呢？在高斯那个时代，数学家关注复数的合理性，同时也关注是否存在新的更大的数系包含复数系统。1843年爱尔兰数学家William R. Hamilton(1805—1865) 经过10年的艰辛探索，发现了新的数系，现在称为Hamilton四元数系。Hamilton四元数系在现代物理学中发挥重大作用。
内容要点： 1. 四元数定义。
2. 全体实四元数组成一个出环。 3. 三个欧拉恒等式。
4. 可除代数的Frobenius定理（只讲不证）。
讲解内容：
复数最初是为了求解形如x2＋1=0的代数方程而引入的，但是在漫长的时期中人们没有承认虚数单位i =?1的合法地位。直到1800年左右在高斯那个时代，数学家对复数作出了适当
的几何解释，把复数与平面上的点对应。复数的几何解释使得复数更为自然，拓宽了复数的意义，增加了复数的应用价值。复数的几何意义无异于把复数看成二元数，这样便产生了一个自然的问题，就是是否存在类似的三元数。爱尔兰数学家William R. Hamilton(1805—1865)经过长期的研究发现不存在三元数。在7.2节定理7.2.1与7.4节推论7.4.2，我们将从不同的角度对这种不存在性作严格的数学证明。但是进一步的研究使得Hamilton于1843年发现了四元数。
定义1 设R是实数集，定义集合H=｛a＋bi＋cj＋dk︱a,b,c,d∈R｝，该集合中的每个元素称为Hamilton四元数。用下面的方法定义四元数的加法与乘法运算。 四元数的加法十分自然地定义为
(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2i+c2j+d2k)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k
四元数的乘法由下面i，j，k的乘法再利用分配律定义到整个四元数集。
i2 = j2 =k2 =?1，ij =?ji=k，jk =-?kj = i ，ki = ?ik =j
容易知道在上面的定义之下，全体四元数成为一个环，这是一个不交换的环。进一步研究还会发现?=a+bi+cj+dk，与其共轭四元数?=a-bi-cj-dk相乘有??=a2+b2+c2+d2, 因此只要?≠0,就可命?=(a2+b2+c2+d2) ?1 ?，则??=??=1,说明四元数环的非零元素集成为一个乘群。
定义2 设R是一个环，如果R的非零元素集是一个乘群，则称R是一个除环。 定理2.5.1 四元数集H组成一个除环。
作为Hamilton四元数的一个应用，我们可以通过四元数发现和证明下面的欧拉恒等式。 定理2.5.2 下面等式中的字母都表实数。我们有欧拉恒等式: (1)( a2+b2)(c2+d2)=(ac?bd) 2+(ad+bc) 2
(2)(a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42)
=(a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)2+(a1b2 ? a2b1+a3b4 ? a4b3)2 +(a1b3 ? a3b1+ a4b2 ? a2b4)2 +(a1b4 ? a4b1+ a2b3 ? a3b2)2
证 (1)记复数?=a+bi,?=c+di,则|?|2|?|2=|??|2,把?,?的表式代入即得第一个等式。
(2)记四元数?=a1+a2i+a3j+a4k, ?= b1+b2i+b3j+b4k, 与复数的模得法则一样有|?|2 |?|2=|??|2 。
而 ??= (a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)i
+(a1b3+a3b1+a4b2-a2b4)j+(a1b4+a4b1+a2b3-a3b2)k
代入模等式得
(a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42) =(a1b1?a2b2?a3b3?a4b4)2
+(a1b2+a2b1+a3b4?a4b3)2+(a1b3+a3b1+a4b2?a2b4) +(a1b4+a4b1+a2b3?a3b2) 用?b1代b1得等式(2)。
注 欧拉恒等式，作为一个恒等式它的证明本来只需采用简单的两边展开平方的方法进行被动的验证，但是直接验证的一个缺点是烦琐。另一方面更重要的缺点是，无法从证明的过程中了解怎样发现这样的恒等式。实际上，第7章中我们还将讨论一个更为复杂的八元欧拉恒等式，只有从代数结构的角度我们才能理解这些恒等式的由来。
推论2.5.3（Euler） 正整数n能表为两个整数的平方和当且仅当n的每个模4余3的素因子p都出现偶数次。
证 2当然能表为两个整数的平方和，由定理2.4.3奇素数p若模4余1，则p可表为二整
数平方和，于是由定理2.5.2(1)，若在n的标准分解式中模4余3的素数幂都是偶数次，则n能表为二整数平方和。反之，若n能表为二整数平方和，n的素因子p模4余3，假定在n的标准分解式中p的幂指数为奇，则n有分解式n=a2+b2 =d2(s2+t2)，其中a、b、d、s、t都是整数，且s2+t2≡0(p)但（s，p）=1，于是存在u使us≡1(p)，因而(ut)2≡-1(p)。
?1?p?1(?1)2?(ut)p?1?1(p)，与p≡3(4)矛盾。因此若n能表为二整数平方和，则n的标准分解
式中模4余3的素因子p都出现偶数次，定理得证。
注 如果把整数环、有理数域、实数域、复数域看成一系列从小到大逐步扩充的数系，那末Hamilton四元数除环则是由复数系所作的又一次扩充数系。把复数域看成一种2元数系，则四元数除环是一种4元数系。是否还存在其它的多元数系呢？我们将在第7章证明下面的定理，这个定理从一个特定的角度很好地回答了数系扩充的问题。
定理(Frobeuius 1878) 实数域R上的可除代数只能是实数域、复数域或四元数除环。
练习作业
设R是全体复数对（?，?）组成的二元复数集，定义R上的加法和乘法运算： (?，?)+(?，?)=(?+?，?+?)，(?，?)(?，?)=(?? ? ??*，??+??*) 证明这样定义的环R与四元数除环同构。