发布时间 : 星期四 文章债券久期、免疫方法与凸性更新完毕开始阅读2ecef44f0740be1e640e9a18
五年期债券，前3年每年利息为8万元*0.869246=6.953968万元
前两年利息再投资的本利和加上第三年的利息6.953968*(1.092+1.09+1)=22.7958025万元
第三年底该五年期债券的卖价6.953968*（1/1.09+1/1.092）+86.9246/1.092=85.39549964万元
到第三年底投资该五年期债券的所获收入 108.1913021万元
（3）投资这两种证券到第三年底获得
91.36847265万元+108.1913021万元=199.5597748，接近200万元（因为小数点省略的原因）
再看下跌到7%的情况（略）
【例4】假定一家养老基金出售一种新的保险单，这种保单承诺在今后的15年内基金将每年支付100美元给投保人。折现率为10%。
第一步：计算负债的持续期。表1给出了整个计算过程和结果。
表1：持续期的计算 时间 现金流 现金流的折现值 权重 乘积 1 100 90.909 0.120 0.120 2 100 82.645 0.109 0.217 3 100 75.131 0.099 0.296 ? ? ? ? ? 15 100 23.939 0.031 0.472 合计 760.608 1.000 6.279 修正持续期=6.279÷1.1=5.708 由表1可以看出，负债的现值为760.61美元。现在的问题在于如何将出售保单的收
入760.61美元进行投资，以保证未来的每一时点投资的资产价值至少与负债的价值相当。
第二步：投资资产的选择。因为负债的折现率用的是10%，这意味着保险单对投保人的收益率为10%。所以，所构造的投资组合每年至少有10%的收益。假定基金选择了两种金融工具：30年期的长期国债，年利率为12%，按面值出售；6个月期的短期国债，收益率为年利率8%。用第一步的方法分别计算出它们的持续期为8.080和0.481。
第三步：确定两种债券的投资比例和投资额。为此，先求两债券的投资比例。这只需解下列方程组：
其中，
：表示30年和6个月债券的持续期； ：表示负债的持续期；
：表示30年和6个月债券的投资份额。
这里要解的是方程组：
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解得：
。因此，养老基金应当将其出售保险单所得收入
的68.79%投资于30年期的长期国债，其余的投资于6个月的短期国债。即应投资与长期国债的是523.23美元，其余的237.38美元用于购买短期国债。
最后，我们来考察这种方法的效果。假定收益曲线向上平移了10个基本点。此时，负债的折现率变成10.1%,长期国债的收益率变为12.1%,短期国债的收益率变为8.1%。比较变化前后价值的变化列表如下(表2)：
表2：组合免疫的绩效 负债 资产 养老基金 30年期国库券 6个月期国库券 760.61 523.23 237.38 原价值 756.29 519.03 237.26 变化后价值 -4.32 -4.2 -0.12 价值的变化 可以看出,变化后资产的总价值756.29（519.03+237.26）刚好等于负债总值。 五、组合免疫存在的问题
只要细心地分析上述例子不难发现，我们在用组合免疫进行资产负债管理时进行了一些不太切合实际的假设，这正是组合免疫所存在的问题之一。实际上，组合免疫方法存在三个方面的问题：
第一，组合免疫方法适合于短期情形，它在短期内可靠。但是，随着时间的变化，不同债券的持续期将产生不同的变化。这一点直接从持续期公式中可以看出来，一个简单的例子是一个6个月债券和5年期债券，6个月后前者持续期为零(减少了0.5)，而后者持续期的减少小于0.5。因此,当前很有效的组合方式明天就不一定有效。这并不是说它明天就一定无效,只是效果肯定没有当前的好;而且随着时间的推移,这个组合方式将越来越不可靠。
第二，随着时间的变化,市场利率可能发生变化,市场利率的变化又直接导致不同金融工具的价格变化，从而到期收益率也发生变化，持续期自然随之而变化。显然,不同金融工具持续期的变化程度是不同的。因此，对于利率的微小的变化，持续期的匹配效果不会受到太大的影响，但对利率较大的变化，组合持续期的匹配效果将大大地受到影响。解决这个问题的办法是频繁地重新计算持续期和权重，并据以调整债券的组合。
第三，这种简单的持续期匹配的方法是基于这样的一个基本假设；收益率曲线平行移动，即当市场利率发生变化时，不同期限债券的收益率都以同样的幅度上涨或下调。事实上并非如此，通常短期债券比长期债券更加敏感。同时，即使是到期日相同的金融工具对利率的敏感性也可能不同，如到期期限相同的债券因有不同的违约风险而对利率的敏感性不同。
解决这一问题的有效办法是利用数理统计方法进行回归分析：假定资产和负债的收益率变化之间存在着某种比例关系，利用历史数据回归分析，找出这一比例关系。在上例中将负债收益率变化对30年期国债收益率的变化作回归。所得的系数为利率的β值。然后用同样的方法计算负债对6个月短期国债的利率的β值。
六、凸性
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我们知道修正的持续期度量的是价格—收益曲线上给定点相应的斜率。并由此而得出价格变化的近似公式
dp??D*?dy。这一近似公式并不精确，当收益率的变化较大p时，近似公式给出的价格变动量与实际变动量相差可能很大。这一现象的背后原因在于，这种近似公式的根据是数学中函数的泰勒展式。我们在应用泰勒(Taylor)公式进行近似时结果一般是很复杂的，它通常表示为函数导数的多阶项之和。而上述近似只取了一阶项。为了更精确地对价格的变化进行近似，一个很自然的方法是加进二阶项。二阶项的一个重要特征是与凸性有关，而曲线的凸性反应的是曲线的弯曲程度，它能够说明一阶线性近似的精确程度。如图2，图中的直线是由近似公式曲线则是通过计算得出的。图形说明了凸性的作用。
dp??D*?dy给出的直线，p
图2：价格—收益率的关系
1、凸性的定义
凸性可以通过计算修正久期对收益率的导数或债券价格对收益率的二阶导数，再除以债券的价格得到。记凸性为C，则其定义由下式给出：
dD*1d2P11C????dyPdy2P(1?y)2??1?y?t?1Tt?t?1?Ctt
为了显示凸性的重要性，可以对债券价格的相应变化进行泰勒二阶展开，有
d2P122dP/P??1?P?dP/dy??1?2P?2?dy???D*dy?C?dy?2dy
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当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为 ：
12?P/P??D*?y?C??y?
2由上式可以看出，当收益率变化较小时，凸性的意义并不明显，可以忽略不计。而当收益率波动较大时，凸性的作用就变得很重要。
有的金融文献将凸性定义为二阶导数而不用除以债券价格，其结果不会有多大的改变。凸性一词源于数学，它用于描述函数图象的形状。凸性值的正负性描述的是曲线弯曲的方向，正号表示向下弯曲；负号表示向上弯曲。凸性值的大小表示弯曲的程度，值越大，弯曲程度越高，反之则弯曲程度越小。
图3给出两个假想债券的价格—收益率曲线，它们因为具有不同的凸性而使得债券对收益率的相同变化呈现出不同的价格变化。凸性越大，价格受到的影响越大。 图3中，AD为由近似公式
dp??D*?dy求出的ΔP，AB为高凸性债券的真实ΔP ，AC为p低凸性债券的真实ΔP 。
图3：凸性的作用
当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。 这说明：
(1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；
(2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
与久期一样，凸性也具有可加性。即一个资产组合的凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。
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