发布时间 : 星期一 文章2012年福师大网络教育实变函数作业2更新完毕开始阅读2edf63e44afe04a1b071de99
《实变函数》网络作业2
1.设F1,F2为Rn中的闭集，且F1?F2??，求证存在开集G1,G2，使G1?G2??，且F1?G1,F2?G2.
证明：由于F1,F2为闭集，且F1?F2??，所以对任意x0?F1，存在y1?F2，使
d(x0,y1)?d(x0,F2)?0；对任意y0?F1，存在x1?F1使d(y0,x1)?d(y0,F1)?0r(x0)?12d(x0,F2),r(y0)?12d(y0,F1)，
.取
令G1??x0?F1Br(x0)(x0),G2??y0?F2Br(y0)(y0)，则G1,G2都是开集，且F1?G1,F2?G2.
下证G1?G2??.用反证法.若G1?G2??，则有点a?G1?G2，从而a?G1且
a?G2,y?，从而存在x0?F10F使a?Br(x0)(x0)且a?Br(y)(y0).不妨设
0d(x0,F2)?d(x0,y0)?d(x0,a)?d(a,y0)?r(x0)?r(y0)?2r(x0)r(x0)?r(y0)，则有
?2?12d(x0,F2)?d(x0,F2).
即d(x0,F2)?d(x0,F2)，这是不可能的.故G1?G2??.
2.设x?Rn,A?Rn，则x?A的充要条件是d(x,A)?0.
证明：必要性：设x?A?A?A'.若x?A，则d(x,A)?0；若x?A，则x?A'，从而存在点列xn?A使xn?x.由于0?d(x,A)?d(x,xn)，所以d(x,A)?0. 充分性：若d(x,A)?0，则对任意??0，有y?A，使d(x,y)??，即y?B?(x)，从而B?(x)?A??，故x?A.